扩展欧几里德

http://hihocoder.com/problemset/problem/1297

假设经过t时间过后，速度快的人刚好超过了速度慢的人k圈，且到达同一个位置。

s1+v1t=s2+v2t−km

＞注：不需要考虑s1

将这个式子进行变换得到：

(v1−v2)t+km=(s2−s1)

令A=(v1−v2),B=m,C=(s2−s1),x=t,y=k。原式子变成了形如”Ax+By=C”的情况，我们要求解的是一组(x,y)使得原公式成立。

求解该式子的算法我们称为扩展欧几里德算法。

该算法分为两个部分：

(1) 判定是否存在解

对于形如”Ax+By=C”的式子，其存在解的条件为C为A和B最大公约数的整数倍。

我们将A和B的最大公约数记为gcd(A,B)。因此其有解的条件是C=n*gcd(A,B)。

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那么我们应该如何来求解gcd(A,B)呢？

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一个朴素的算法是枚举1~min(A,B)，最大的一个能同时被A,B整除的数即gcd(A,B)。显然这个算法是非常没有效率的。

为了求解gcd(A,B)，欧几里德提出了一个辗转相除法(欧几里得算法)：

首先要证明一个定理：gcd(A,B) = gcd(B, A mod B)

证明：

假设A = k*B+r，有r = A mod B。不妨设d为A和B的一个任意一个公约数，则有A = pd, B = qd。

由r = A - k*B = pd - k*qd = (p - kq)*d，所以有d也为r的约数，因此d是B和A mod B的公约数。

由于对任意一个A和B的公约数都满足这个性质，gcd(A,B)也满足，因此有gcd(A,B)=gcd(B,A mod B)。

利用这个性质，我们可以得到算法：

A mod B = 0, 则B为gcd(A,B)

A mod B ≠ 0, 则gcd(A,B) = gcd(B, A mod B)

通过不断的模运算，数据的规模也越来越小，因此能够快速得收敛到一个解。将其写成伪代码为：

gcd(A, B):    If (A mod B == 0) Then        Return B    End If    Return gcd(B, A mod B)

(2) 求解

先求解

Ax+By=gcd(A,B)

此时，我们可以先求解出上式的解(x′,y′)，再将解(x′,y′)除以gcd(A,B), 接着扩大C倍，即为我们要求的最后解

(x,y)=(x′∗Cgcd(A,B),y′∗Cgcd(A,B))。

那么接下来我们来研究如何求解Ax+By=gcd(A,B)：

假设A>B>0，同时我们设：

A * x[1] + B * y[1] = gcd(A, B)
B * x[2] + (A mod B) * y[2] = gcd(B, A mod B)

已知gcd(A,B)=gcd(B, A mod B)，因此有：

A * x[1] + B * y[1] = B * x[2] + (A mod B) * y[2]

A * x[1] + B * y[1] = B * x[2] + (A - kB) * y[2] // A = kB + r

=> A * x[1] + B * y[1] = A * y[2] + B * x[2] - kB * y[2]

=> A * x[1] + B * y[1] = A * y[2] + B * (x[2] - ky[2])

=> x[1] = y[2], y[1] = (x[2] - ky[2])

利用这个性质，我们可以递归的去求解(x,y)。

其终止条件为gcd(A, B)=B，此时对应的(x,y)=(0,1)
或者终止条件为B=0，此时对应的(x,y)=(1,0)

将这个过程写成伪代码为：

extend_gcd(A, B):    If (A mod B == 0) Then        Return (0, 1)    End If    (tempX, tempY) = extend_gcd(B, A mod B)    x = tempY    y = tempX - (A / B) * tempY    Return (x, y)   

那么我只需要把A=(v1-v2),B=m,C=(s2-s1),x=t,y=k代入就可以得到t了么？

是的，在已知A,B,C的情况下，我们的确能够顺利求解出一组合法的(x,y)。

但是在求解过程中，我们并没有保证x是最小的非负整数，它不能直接作为我们的解。

求最小的非负整数

我们上面求出了AX+BY=C 的一个解(x1, y1),那么其它解呢？

设另一组解为(x2, y2),则

Ax1+By1=C

Ax2+By2=C

两式相减得

A(x1−x2)=B(y2−y1)

同时除以gcd(A,B),得

A′(x1−x2)=B′(y2−y1)

故，(x1−x2)一定是B’的整数倍，假设为k倍，则可以得到下面的结论

设A,B,C为任意整数，若方程Ax+By=C的一组整数解为(x0,y0)，则它的任意整数解都可以写成(x0+kB′,y0−kA′)。

其中A′=A/gcd(A,B)，B′=B/gcd(A,B)。

AC代码为：

#include <iostream>#include <cmath>using namespace std;long gcd(long a, long b) {    long r;    while (b) {        r = a % b;        a = b;        b = r;    }    return a;}void ExtendGcd(long a, long b, long& x, long& y) {    if (b == 0) {        x = 1;        y = 0;        return;    }    ExtendGcd(b, a % b, x, y);    long t = x;    x = y;    y = t - (a / b) * y;}int main() {    long s1, s2, v1, v2, m;    cin >> s1 >> s2 >> v1 >> v2 >> m;    long x = 0, y = 0;    long a = v1 - v2, b = m, c = s2 - s1;    long g = gcd(a, b);    if (c % g != 0) {        cout << "-1" << endl;        return 0;    }    ExtendGcd(a, b, x, y);//ax+by=gcd(a,b)    x = x * (c / g);// x/g * c    b = abs(b / g);    x = (x % b + b) % b;    cout << x << endl;    return 0;}/*0 1 1 2 6 //ans = 5 1 2 3 4 5 //ans = 4*/