数据结构之栈

一、栈（Stack）的结构

数据先进先出（first in last out）如图所示：

例如日常生活中我们把盘子摞起来，最先放置的盘子，最后才能取出。

二、栈操作实例

如下图所示：

● Stack()构造函数创建一个栈

● empty()检查这个栈是否为空（true or false）

● push(5)往栈里插入元素5

● pop()删除顶层元素x，并且x作为返回元素交给上层的使用者

● top()返回顶层元素y

● size()返回元素的个数

三、栈的实现

栈既然输入序列的特例，故可直接基于列表或向量派生，将向量的末端作为栈顶时，时间复杂度为O(1)。

Note：需要特别说明，我们也可以将向量的顶端作为栈顶，但是插入和删除操作都会涉及到向量中的所有元素，则入栈和出栈的时间复杂度为O(n)

C++中有Stack模版类：

s.empty()               //如果栈为空返回true，否则返回false  s.size()                //返回栈中元素的个数  s.pop()                 //删除栈顶元素但不返回其值  s.top()                 //返回栈顶的元素，但不删除该元素  s.push()                //在栈顶压入新元素  

四、栈的应用

（1）逆序输出问题（conversion）

输出次序和实际输出颠倒

递归深度和输出长度不易预知

EX：进制转换问题

按进制转换的定义，整除法算出的结果逆序输出，我们可以把整除的结果依次入栈，再出栈，则得到最终结果。

（2）递归嵌套（stack permtation + parenthesis）

具有自相似性的问题可递归描述，但分支位置和嵌套深度不固定

EX1：括号匹配问题，leetcode No20

bool isValid(string s) {          stack<char> res;                                  //使用栈记录已发现但尚未匹配的左括号        for(int i=0;i<s.size();i++)                       //逐一检查当前字符        {              if(s[i]=='('||s[i]=='{'||s[i]=='[')           //遇到左括号，进栈                res.push(s[i]);              else if(s[i]==')'||s[i]=='}'||s[i]==']')      //遇右括号            {                  if(res.empty()==1)                        //若栈此时为空，返回false                         return false;                  if((res.top()=='('&&s[i]==')')||(res.top()=='{'&&s[i]=='}')||(res.top()=='['&&s[i]==']'))                      res.pop();                            //若栈顶元素和当前元素匹配，则出栈                else                       return false;              }          }          return res.empty(); 

EX2：栈混洗

定义：栈混洗就是根据某种规则，对栈中的元素进行重新排列

Note:用<表示栈顶，]表示栈底

初始情况：A=<a1,a2,...,an]

B=S=Φ

规则：只允许将A的顶元素弹出并压入S，或将S的顶元素弹出并压入B

 若经过一系列以上操作后，A中元素全部转入B中

结束情况：B=[ak1,ak2,...,akn>

则称之为A的一个栈混洗（stack permutation），输入同一序列，可能有多种栈混洗。

对于长度为n的序列，可能的栈混洗总数SP(n)=catalan(n)=(2n)!/((n+1)!n!)。

甄别：那么我们如何甄别一个排列是不是栈混洗，先说一个简单的情况<1,2,3],n=3,SP(3)=5,而3的全排列个数为6，所以只有一种情况是非法的，这个情况就是[3，1，2>，因为3是需要第一个进栈，那么为了让3第一个进栈，那么2，1必须先进S，那么3后面只能是2。

一般情况下，在一个栈中，对于任何1小于等于i<j<k小于等于n，[...,k,...,i....,j,...>则必非栈混洗。（充要条件）

A permutation is a stack permutation iff it does NOT involve the permutation(312)

Algorithm：按照甄别的充要条件我们可以写出O(n^3)的甄别算法（Too Slow）

我们还可以得到一个改进的性质，即[p1,p2,...,pn>是<1,2,...,n]的栈混洗，当且进当对于任意的i<j不含模式[ ...，j+1, ..., i , ... , ... >这样我们可以得到一个O(n^2)的算法。

O(n)算法，直接借助栈A、B和S，模拟混洗过程，每次S.pop()之前，检测S是否为空，或需弹出的元素在S中，却非顶元素。即如果我们直接模拟这样一种栈混洗的过程，建立三个栈，先后完成push()...pop()...push()的操作，保证能依次得到目标序列，那么就可以确定这样的序列是可以得到的，反之就不能得到，这样的时间度最小为O(n)。

（3）延迟缓冲（evaluation）

线性扫描算法模式中，在预读够长之后，方能确定可处理的前缀

EX:中缀表达式（infex）求值

Question：  给定语法正确的算数表达式S，计算与之对应的数值

Algorithm：使用两个栈，一个栈存放运算符，一个栈存放操作数，还需要一个运算符的优先级表

具体实例可以参照学堂在线的数据结构（邓俊辉）栈这一节，有非常详细的讲解过程

（4）栈式计算

RPN:逆波兰表达式（Reverse Polish Notation）

基于栈结构的特定计算机模式

中缀表达式（infix）:由运算符（operator）和操作数（operand）组成的表达式中不使用括号（parenthesis-free），即可表示带优先级的运算关系

缺点：定义混乱，逻辑复杂

RPN：哪个运算符先出现就先计算

举个例子：0！1+23！4-5^-67*-8-9+

只需要一个辅助栈

infix-postfix的转化，目标是消除所有的括号

例如：（0！+1）^（2*3！+4-5）

假设：事先未就运算符之间的优先级关系做过任何约定

1）用括号显式地表示优先级

2）将运算符移到对应的右括号后

3）抹去所有括号

4）稍事整理，即得逆波兰表达式

Note：运算符的相对位置会发生变化，但是操作数的相对位置不会变化

Algorithm：中缀表达式求值过程其实就把RPN求解出来了