向量、矩阵乘法的几何意义（一） scalar multiplication VS scalar product

1、scalar multiplication   纯量乘法

（1）定义：

纯量乘法是指一个标量r与一个向量V（或矩阵M）相乘，其结果为一个向量（矩阵），该向量（矩阵）的每一个元素为标量r与V（M）中对应位置元素的乘积。

（2）几何意义：

       Scaling：对向量（矩阵）各维上的伸（stretch, r>1）缩（shrink, 0<r<1）。Scalar multiplication is a way to change the size of a configuration of points by stretching or shrinking them on all dimensions.

 

2、scalar product (dot product, inner product)  数积、标量积、内积

（1）       定义：两个向量的内积的结果是一个标量，其定义如下

                                     （1）

                                                                                               （2）

（2）       几何意义：

Projection：如图1所示，两个向量的内积可以看做是其中一个向量（看成向量空间中的一个点）向另一个向量（看成向量空间中的一条有向线段，directed line segment）的投影，投影的距离长度为内积的值。

还有一种说法是向量a在向量b上的投影是

                                                                            （3）

图1 两向量内积的几何解释

参考资料：

《Analyzing Multivariate Data》

http://en.wikipedia.org/wiki/Scalar_multiplication

http://www.purplemath.com/modules/mtrxmult.htm