【脑经急转弯】—— 灯亮还是灭？

一、问题

100 个灯泡，起始全是灭的。

执行 100 次步骤：第i次步骤，对i，2*i，3*i 。。的灯全部切换一下开关（灭的开等，亮的关灯）

最后有多少灯是亮的

二、分析

最终灯灭还是灯灭与等被切换的次数是偶数还是奇数直接相关。

• 偶数：灯亮
• 奇数：灯灭

三、答案

学会找规律，并抽象出结论。

• 1：1,2,3。。。100
• 2：2,4,6。。。100
• 3：3,6,9。。。99
• 。。。
• 50：50,100
• 51：51
• 。。。
• 99：99
• 100：100

第 i 次切换，切换的均是灯泡的编号具有 i 的因子。显然这些 100 以内的数，有多少因子，就被切换多少次，如 48 的因子：1,2,3,4,6,8,12,16,24,48（10次），经过前面的分析我们知，我们需要获取其次数，只需判断因子的个数是奇数，还是偶数。

根据数论的相关理论我们知，只有完全平方数的因子是奇数，因为因子一般是成对出现的，除非该数是完全平方数，其二次方根只出现一次。

100以内的完全平方数为：1、4、16、25、36、49、64、81、100（10个），所以最终有 10 盏灯是亮着的。