能量项链[NOIP2006提高组][Codevs 1154]

题目描述 Description

在Mars星球上，每个Mars人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有 N 颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘（吸盘是Mars人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为 m ，尾标记为 r ，后一颗能量珠的头标记为 r ， 尾标记为 n ，则聚合后释放的能量为 m∗r∗n （Mars单位），新产生的珠子的头标记为 m ， 尾标记为 n 。

需要时，Mars人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。

例如：设 N=4 ， 4 颗珠子的头标记与尾标记依次为 (2，3)(3，5)(5，10)(10，2) 。我们用记号 ⊕ 表示两颗珠子的聚合操作， (j⊕k) 表示第 j，k 两颗珠子聚合后所释放的能量。则第 4、1 两颗珠子聚合后释放的能量为：

(4⊕1)=10∗2∗3=60

这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为

((4⊕1)⊕2)⊕3）=10∗2∗3+10∗3∗5+10∗5∗10=710

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输入描述 Input Description

第一行是一个正整数 N(4≤N≤100) ，表示项链上珠子的个数。第二行是 N 个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过 1000 。第 i 个数为第 i 颗珠子的头标记 (1≤i≤N) ，当 i<N时，第i颗珠子的尾标记应该等于第 i+1 颗珠子的头标记。第 N 颗珠子的尾标记应该等于第 1 颗珠子的头标记。

至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。

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输出描述 Output Description

只有一行，是一个正整数 E(E≤2.1∗109) ，为一个最优聚合顺序所释放的总能量。

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样例输入 Sample Input

4
2 3 5 10

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样例输出 Sample Output

710

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分析 I Think

设 fi,j 表示断开第 i 到第 j 颗珠子能释放的最大能量，显然 fi,i+1=ai−1∗ai∗ai+1。考虑 fi,j，断开第 i 到第 j 颗珠子可以认为是断开第 i 到第 k 颗珠子，断开第 k+1 到第 j 颗珠子两次得到的珠子再合并。因此 fi,j=max{fi,k+fk+1,j+ai−1∗ak∗aj} ，环形的话直接将长度扩大一倍，最后 ans=max{fi,i+n−1}，时间复杂度为 O(8n3)

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代码 Code

#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>using namespace std;typedef long long LL;LL f[240][240];LL n,a[240];int main(){    scanf("%lld",&n);    for(int i=1;i<=n;++i){        scanf("%lld",&a[i]);        a[i+n] = a[i];    }    a[0] = a[n];    for(int i=1;i<(n<<1);++i)        f[i][i+1] = a[i-1]*a[i]*a[i+1];    for(int i=(n<<1);--i;)        for(int j=i+2;j<=(n<<1);++j)            for(int k=i;k<j;++k)                f[i][j] = max(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]+a[i-1]*a[k]*a[j]);    LL ans = 0;    for(int i=1;i<=n;++i)        ans = max(ans,f[i][i+n-1]);    printf("%lld",ans);    return 0;}