支持向量机SMO算法求解过程分析

1.SVM对偶函数最后的优化问题

            

            

2. 对核函数进行缓存

由于该矩阵是对称矩阵，因此在内存中的占用空间可以为m(m+1)/2

映射关系为：

#define OFFSET(x, y) ((x) > (y) ? (((x)+1)*(x) >> 1) + (y) : (((y)+1)*(y) >> 1) + (x))//...for (unsigned i = 0; i < count; ++i)for (unsigned j = 0; j <= i; ++j)cache[OFFSET(i, j)] = y[i] * y[j] * kernel(x[i], x[j], DIMISION);//...

3. 求解梯度

既然α值是变量，因此对α值进行求导，后面根据梯度选取α值进行优化。

梯度：

for (unsigned i = 0; i < count; ++i){gradient[i] = -1;for (unsigned j = 0; j < count; ++j)gradient[i] += cache[OFFSET(i, j)] * alpha[j];}

若使W最大，则当α减少时，G越大越好。反之，G越小越好。

4. 序列最小化法(SMO)的约束条件

每次选取2个α值进行优化,其它α值视为常数，根据约束条件得：

进行优化之后：

5. 制定选取规则

由于α的范围在区间[0,C],所以△α受α约束

若选取的和异号，即λ=-1，则和增减性相同

假设，

若，则，此时应选取

上述命题可化为（注：与等价）

若选取的和同号，即λ=1，则和增减性相异

若，则，此时应选取,

上述命题可化为（注：与等价）

或

将上述结论进行整理，可得（为了简便此处只选取G前的符号与y的符号相异的情况）

unsigned x0 = 0, x1 = 1;//根据梯度选取进行优化的alpha值{double gmax = -DBL_MAX, gmin = DBL_MAX;for (unsigned i = 0; i < count; ++i){if ((alpha[i] < C && y[i] == POS || alpha[i] > 0 && y[i] == NEG) && -y[i] * gradient[i] > gmax){gmax = -y[i] * gradient[i];x0 = i;}else if ((alpha[i] < C && y[i] == NEG || alpha[i] > 0 && y[i] == POS) && -y[i] * gradient[i] < gmin){gmin = -y[i] * gradient[i];x1 = i;}}}

6. 开始进行求解

alpha要求在区间[0,C]内，对不符合条件的alpha值进行调整,调整规则如下。 

分2种情况，若λ=-1,即：

代入后得：

if (y[x0] != y[x1]){double coef = cache[OFFSET(x0, x0)] + cache[OFFSET(x1, x1)] + 2 * cache[OFFSET(x0, x1)];if (coef <= 0) coef = DBL_MIN;double delta = (- gradient[x0] - gradient[x1]) / coef;double diff = alpha[x0] - alpha[x1];alpha[x0] += delta;alpha[x1] += delta;unsigned max = x0, min = x1;if (diff < 0){max = x1;min = x0;diff = -diff;}if (alpha[max] > C){alpha[max] = C;alpha[min] = C - diff;}if (alpha[min] < 0){alpha[min] = 0;alpha[max] = diff;}}

若λ=1,即：

else{double coef = cache[OFFSET(x0, x0)] + cache[OFFSET(x1, x1)] - 2 * cache[OFFSET(x0, x1)];if (coef <= 0) coef = DBL_MIN;double delta = (-gradient[x0] + gradient[x1]) / coef;double sum = alpha[x0] + alpha[x1];alpha[x0] += delta;alpha[x1] -= delta;unsigned max = x0, min = x1;if (alpha[x0] < alpha[x1]){max = x1;min = x0;}if (alpha[max] > C){alpha[max] = C;alpha[min] = sum - C;}if (alpha[min] < 0){alpha[min] = 0;alpha[max] = sum;}}

然后进行梯度调整,调整公式如下：

for (unsigned i = 0; i < count; ++i)gradient[i] += cache[OFFSET(i, x0)] * delta0 + cache[OFFSET(i, x1)] * delta1;

7.进行权重的计算

计算公式如下：

double maxneg = -DBL_MAX, minpos = DBL_MAX;SVM *svm = &bundle->svm;for (unsigned i = 0; i < count; ++i){double wx = kernel(svm->weight, data[i], DIMISION);if (y[i] == POS && minpos > wx)minpos = wx;else if (y[i] == NEG && maxneg < wx)maxneg = wx;}svm->bias = -(minpos + maxneg) / 2;

代码地址：http://git.oschina.net/fanwenjie/SVM-iris/