float与double类型的范围和精度



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         http://www.ruanyifeng.com/blog/2010/06/ieee_floating-point_representation.html

         http://docs.oracle.com/cd/E19059-01/stud.8/817-5810/817-5810.pdf

0 背景知识

根据国际标准IEEE 754，任意一个二进制浮点数V可以表示成下面的形式：

　　V = (-1)^s×M×2^E

　　（1）(-1)^s表示符号位，当s=0，V为正数；当s=1，V为负数。

　　（2）M表示有效数字，大于等于1，小于2。因为整数肯定是1，所以保存时忽略1，计算时再加1。

　　（3）2^E表示指数位。

例如：十进制0.1的二进制为：0.000110011001100110011001100‬11001100...

按照上面规格化要求，改成1.1001100110011001100*2^(-4)

32位浮点float表示0x3DCCCCCC，实际VC编译后对应的是0x3DCCCCCD，应该和无法整除数值的进位取舍有关，对应‭二进制：0，01111011，10011001100110011001101‬，其中

‭符号位：0 

指数位：01111011 = -4   2^(-4)=0.0625

尾数为：100 1100 1100 1100 1100 1101‬ = 5033165/(2^23) = 5033165 / 8388608 =0.6000000238418579

分别将各部分对应的十进制相乘1*0.0625*(1+0.6000000238418579)=0.10000000149011611875

1 内存分配

每个float类型4字节，double类型8字节，以科学计数法的指数+尾数形式表示，

具体分布如下（高位在前，低位在后）：

float（共32位）    ：1bit（符号位）  8bits（指数位） 23bits（尾数位）

double（共64位）：1bit（符号位）11bits（指数位） 52bits（尾数位）

以float类型为例：0x00000000表示0，0x80000000表示-0，即最高位为符号位

2 范围

float和double的范围是由指数的位数来决定的。

float的指数位有8位，而double的指数位有11位。于是，float的指数范围为-127~+128，而double的指数范围为-1023~+1024，并且指数位float(+127)double(+1023)的形式来表示的（IEEE745）。

以float类型为例，十进制1的float类型指数为01111111（即0+127），2的指数为10000000（即1+127），3也是10000000（即1+127），4为10000001（即2+127）

负指数（小于127）决定了所能表达的绝对值最小的非零数；而正指数决定了所能表达的绝对值最大的数，即范围。

float的范围为-2^128 ~ +2^128，也即-3.40E+38 ~ +3.40E+38；

double的范围为-2^1024 ~ +2^1024，也即-1.79E+308 ~ +1.79E+308。

3 精度

以 IEEE 单精度格式表示的 a 具有多少个有效十进制数字；或者当用户以 IEEE 单精度 格式表示 x 时，可以确信有多少十进制数字是准确的？ 

有效十进制数字的个数始终介于 6 和 9 之间，即至少有 6 个数字是准确的，但准确数字不会超过 9 个 （如果转换是准确的，则准确数字个数不受此限制，此时可能有无限多个准确数字）。

相反，如果将 IEEE 单精度格式的二进制数转换为十进制数，然后再将其转换回二进制，则通常需要使用至少 9 个十进制数字，以确保经过两次转换后仍可以得到原始的数字。

双精度有效十进制数字的个数介于15和17之间。

原文地址：http://blog.sina.com.cn/s/blog_671c54fe0102vm8r.html