匈牙利算法

首先，匈牙利算法是用来求二分图的最大匹配的，它的核心问题就是找增广路径。匈牙利算法的时间复杂度为O(VE)，其中

V为二分图左边的顶点数，E为二分图中边的数目。

现在我们来看看增广路有哪些性质：

(1)有奇数条边。

(2)起点在二分图的左半边，终点在右半边。

(3)路径上的点一定是一个在左半边，一个在右半边，交替出现。

(4)整条路径上没有重复的点。

(5)起点和终点都是目前还没有配对的点，而其它所有点都是已经配好对的。

(6)路径上的所有第奇数条边都不在原匹配中，所有第偶数条边都出现在原匹配中。

(7)最后，也是最重要的一条，把增广路径上的所有第奇数条边加入到原匹配中去，并把增广路径中的所有第偶数条边从原

匹配中删除（这个操作称为增广路径的取反），则新的匹配数就比原匹配数增加了1个。

当然，匹配开始时我们任意选择一边的所有点为起始点找增广路径，由增广路的性质可以看出，每找到一条增广路径，匹配

数增加1。

很多问题都可以转化为二分图匹配模型。二分图有如下几种常见变形：

(1)二分图的最小顶点覆盖 

最小顶点覆盖要求用最少的点（X或Y中都行），让每条边都至少和其中一个点关联。

Knoig定理：二分图的最小顶点覆盖数等于二分图的最大匹配数。

(2)DAG图的最小路径覆盖 

用尽量少的不相交简单路径覆盖有向无环图(DAG)G的所有顶点，这就是DAG图的最小路径覆盖问题。

结论：DAG图的最小路径覆盖数 = 节点数（n）- 最大匹配数（m）

(3)二分图的最大独立集

最大独立集问题： 在Ｎ个点的图G中选出m个点，使这m个点两两之间没有边．求m最大值

结论：二分图的最大独立集数 = 节点数（n）— 最大匹配数（m）