跟我一起学Multiple View Geometry多视图几何（4）

前言：今天我们主要学习从一些特殊相机运动中求解Fundamental matrices

9.3 Fundamental matrices arising from special motions特殊运动中求解Fundamental matrices

　　我们在从特殊化平移方向 t 和旋转轴方向 a 的关系中可以得到几种特殊的相机运动形式，我们将会讨论这其中的两种情况：没有旋转的纯平移和纯平面运动，在第二种运动模型中t与a是垂直的。这里的纯指的是相机内参不发生变化。

9.3.1.1 纯平移

　　在这种运动中我们可以看成相机不动世界坐标系的三维点在以向量-t平移，他们平移的直线平行于t，且在图像上看这些直线会相交于消失点v，很明显v是两个视图的epipole，投影到图像平面的直线即是epipole line，话不多说，上图：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　例9.6：我们假定相机纯平移运动，两个相机矩阵分别是P=K[I | 0]and P’=K[I | t],（这里读者要去看下书上244页，取R=I,K=K’），于是有，如果相机平移方向与x轴平行，那么，所以
　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
对于展开来就是
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
也就是。

　　这种情形具体会在11.12节图像矫正中讲到。（得到上面结果后书上有一句话我没看懂：i.e. the epipolar lines are corresponding rasters.希望大神指引）。

　　如果一个图像点坐标被归一化写成,从我们就可以得到空间点坐标，其中Z是点X的深度值（从左相机主轴方向测量的空间点X到相机中心的距离），由于x’=P’X，所以有：

　　这个式子说明图像点从x点出发，沿着x与消失点同时也算epipole的e点连线运动，运动的范围决定于t的尺度(它不是齐次向量)和深度Z，所以说靠近相机的点看起来运动速度要比远处的点速度快，就像从火车里往外看一个道理。

9.3.1.2 一般运动

　　给定任意两个相机，我们先旋转第一个相机使得与第二个相机对齐，可以通过对左图施加一个投影变换得到，然后再对左图进行矫正以弥补两个相机标定的差异，这两步可以对左图施加一个投影变换H实现，然后这两幅图像就是上面讲的纯平移运动了。因此对于施加了H变换的左图和右图之间的Fundamental matrix就有了如下形式：，他满足，其中是左图矫正后的点坐标，所以就有：，所以左图原始坐标点x与右图对应点之间的Fundamental matrix就可以写成，上图：

　　　　　　　　　　　　

　　例9.7 假设两个相机矩阵分别为P=K[I | 0]and P’=K’[R| t]，和上面的推导一样，我们可以得到
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　可以看出从x到x’可以分为两步：第一步之取决于像素位置x，与Z无关，包含了相机旋转和相机内参的变化；第二步决定于点的深度Z，包含了相机的平移，如果取R=I,K’=K,那么这个式子就退化成了上面的。

9.3.2 纯平面运动

　　这种运动中旋转转轴与平移方向正交，这个正交条件对运动施加了一个约束，这将会在本章的末尾练习处展示：如果K’=K,那么F的对称部分Fs秩为２，而对于一般相机运动这个值应该是满秩，因此，条件det(Fs)=0是F上的另外一个约束条件，而且会把F的自由度从一般运动情况的7降为6。