引导滤波和双边滤波

双边滤波

双边滤波很有名，使用广泛，简单的说就是一种同时考虑了像素空间差异与强度差异的滤波器，因此具有保持图像边缘的特性。

先看看我们熟悉的高斯滤波器

其中W是权重，i和j是像素索引，K是归一化常量。公式中可以看出，权重只和像素之间的空间距离有关系，无论图像的内容是什么，都有相同的滤波效果。

再来看看双边滤波器，它只是在原有高斯函数的基础上加了一项，如下

其中 I 是像素的强度值，所以在强度差距大的地方（边缘），权重会减小，滤波效应也就变小。总体而言，在像素强度变换不大的区域，双边滤波有类似于高斯滤波的效果，而在图像边缘等强度梯度较大的地方，可以保持梯度。

引导滤波

引导滤波是近三年才出现的滤波技术，知道的人还不多。它与双边滤波最大的相似之处，就是同样具有保持边缘特性。在引导滤波的定义中，用到了局部线性模型，至于该模型，可以暂时用下图简单的理解

该模型认为，某函数上一点与其邻近部分的点成线性关系，一个复杂的函数就可以用很多局部的线性函数来表示，当需要求该函数上某一点的值时，只需计算所有包含该点的线性函数的值并做平均即可。这种模型，在表示非解析函数上，非常有用。

同理，我们可以认为图像是一个二维函数，而且没法写出解析表达式，因此我们假设该函数的输出与输入在一个二维窗口内满足线性关系，如下

其中，q是输出像素的值，I是输入图像的值，i和k是像素索引，a和b是当窗口中心位于k时该线性函数的系数。其实，输入图像不一定是待滤波的图像本身，也可以是其他图像即引导图像，这也是为何称为引导滤波的原因。对上式两边取梯度，可以得到

即当输入图像I有梯度时，输出q也有类似的梯度，现在可以解释为什么引导滤波有边缘保持特性了。

下一步是求出线性函数的系数，也就是线性回归，即希望拟合函数的输出值与真实值p之间的差距最小，也就是让下式最小

这里p只能是待滤波图像，并不像I那样可以是其他图像。同时，a之前的系数（以后都写为e）用于防止求得的a过大，也是调节滤波器滤波效果的重要参数。通过最小二乘法，我们可以得到

其中，是I在窗口w_k中的平均值，是I在窗口w_k中的方差，是窗口w_k中像素的数量，是待滤波图像p在窗口w_k中的均值。

在计算每个窗口的线性系数时，我们可以发现一个像素会被多个窗口包含，也就是说，每个像素都由多个线性函数所描述。因此，如之前所说，要具体求某一点的输出值时，只需将所有包含该点的线性函数值平均即可，如下

这里，w_k是所有包含像素i的窗口，k是其中心位置。

当把引导滤波用作边缘保持滤波器时，往往有 I = p ，如果e=0，显然a=1, b=0是E(a,b)为最小值的解，从上式可以看出，这时的滤波器没有任何作用，将输入原封不动的输出。如果e>0，在像素强度变化小的区域（或单色区域），有a近似于（或等于）0，而b近似于（或等于），即做了一个加权均值滤波；而在变化大的区域，a近似于1，b近似于0，对图像的滤波效果很弱，有助于保持边缘。而e的作用就是界定什么是变化大，什么是变化小。在窗口大小不变的情况下，随着e的增大，滤波效果越明显。

在滤波效果上，引导滤波和双边滤波差不多，在一些细节上，引导滤波较好。引导滤波最大的优势在于，可以写出时间复杂度与窗口大小无关的算法（打算在之后的文章中讨论），因此在使用大窗口处理图片时，其效率更高。

关于引导滤波更多的讨论和应用，可以参看下面的论文

GuidedFilter_ECCV10.pdf

实现引导滤波这种算法的关键思想是盒式滤波（box filter），而且必须是通过积分图来实现的盒式滤波，否则不可能与窗口大小无关，好在OpenCV的boxFilter函数满足这个要求。

再看看引导滤波的公式

先计算a_k的分子，Ip 在窗口w_k中的和，再除以窗口中像素的个数，刚好就是盒式滤波，因此我们可以将输入的引导图像 I 和滤波图像 p 相乘，并对相乘后的图像做box filtering，即得第一项的结果。后面的和分别为 I 和 p 在窗口w_k中均值，因此分别对 I 和 p 进行box filtering，再将box filtering之后的结果相乘即可。实际上，a_k的分子就是 Ip 在窗口w_k中的协方差。

接下来计算a_k的分母部分。是引导图 I 在窗口w_k中的方差，学过概率论与数理统计的朋友应该知道，方差和期望（均值）之间是有关系的，如下式

因此在计算 I 的方差时，我们可以先计算 I*I 的均值，再减去 I 均值的平方即的平方。在方法上，计算 I*I 的均值和计算 Ip 的均值是一样的。最后，对计算出来的方差图像，加上常量e（每个元素都加e），分母就计算完了，自然，a_k在所有窗口中的值也就得到了。b_k的计算太简单了，大家都懂的。

注意，我们的计算都是对整个图像的，以图像为单位进行计算，所以最后算出的也是两张图，a_k的图（左边）和b_k的图（右边），如下

在图中可以看到，在边缘部分或变化剧烈的部分，a的值接近于1（白色），b的值接近为0（黑色），而在变化平坦的区域，a的值接近0（黑色），b的值为平坦区域像素的均值。这与上一篇文章中所说的规律是一致的。

下面看第二个公式

输出值q又与两个均值有关，分别为a和b在窗口w_i中的均值（不是w_k），所以还是box filtering，我们将上一步得到两个图像都进行盒式滤波，得到两个新图：a_i和b_i，然后用a_i乘以引导图像 I ，再加上b_i，即得最终滤波之后的输出，如下（左边为原图，右边为滤波之后的图像，其中滤波窗口半径为8，e的值为500）：

下面是整个算法的代码，仅供参考

void guidedFilter(Mat& source, Mat& guided_image, Mat& output, int radius, float epsilon){CV_Assert(radius >= 2 && epsilon > 0);CV_Assert(source.data != NULL && source.channels() == 1);CV_Assert(guided_image.channels() == 1);CV_Assert(source.rows == guided_image.rows && source.cols == guided_image.cols);Mat guided;if (guided_image.data == source.data){//make a copyguided_image.copyTo(guided);}else{guided = guided_image;}//将输入扩展为32位浮点型，以便以后做乘法Mat source_32f, guided_32f;makeDepth32f(source, source_32f);makeDepth32f(guided, guided_32f);//计算I*p和I*IMat mat_Ip, mat_I2;multiply(guided_32f, source_32f, mat_Ip);multiply(guided_32f, guided_32f, mat_I2);//计算各种均值Mat mean_p, mean_I, mean_Ip, mean_I2;Size win_size(2*radius + 1, 2*radius + 1);boxFilter(source_32f, mean_p, CV_32F, win_size);boxFilter(guided_32f, mean_I, CV_32F, win_size);boxFilter(mat_Ip, mean_Ip, CV_32F, win_size);boxFilter(mat_I2, mean_I2, CV_32F, win_size);//计算Ip的协方差和I的方差Mat cov_Ip = mean_Ip - mean_I.mul(mean_p);Mat var_I = mean_I2 - mean_I.mul(mean_I);var_I += epsilon;//求a和bMat a, b;divide(cov_Ip, var_I, a);b = mean_p - a.mul(mean_I);//对包含像素i的所有a、b做平均Mat mean_a, mean_b;boxFilter(a, mean_a, CV_32F, win_size);boxFilter(b, mean_b, CV_32F, win_size);//计算输出 (depth == CV_32F)output = mean_a.mul(guided_32f) + mean_b;}

void makeDepth32f(Mat& source, Mat& output){if (source.depth() != CV_32F ) > FLT_EPSILON)source.convertTo(output, CV_32F);elseoutput = source;}