概率初步笔记

1.样本空间Ω代表事件的全集，即一次实验发生的所有事件的并集。
2.概率测度P(A)表示A事件在样本空间中的发生概率(跟没有解释一样 = =)。
3.概率测度满足一些性质：
∑A∈ΩP(A)=1
∀A∈Ω,P(A)>=0
∀A⋂B=∅,P(A⋃B)=P(A)+P(B)
4.全概率公式：
如果Bi是样本空间的一个划分，那么
P(A)=∑kP(A|Bk)P(Bk)

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例子：
一座学校里，有OI班和普通班。
OI班有a个，普通班有b个。
这样OI班和普通班就把整个学校里的班级划分成了两个部分。
每个OI班里有c个男生和d个女生，其中c>0,d=0.
每个普通班里有e个男生和f个女生，其中e>0,f>0.
（一本正经）
现在随机挑一个学生，问是妹子的概率？
A表示随便挑个学生，是妹子的这个事件。
B1表示随便挑个学生，跑到OI班的概率。
B2表示随便挑个学生，跑到普通班的概率。
P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)
这样就直观地表示了全概率公式。

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5.贝叶斯公式：

P(A|B)=P(A)∗P(B|A)P(B)

这个公式就是逗你玩的，推导过程的话其实是P(AB)=P(A)P(B|A).
注意，A和B事件可以是独立的。
这个公式在计算逆向概率很有用。
6.随机变量：
随机变量X它是个函数。
它是定义在样本空间的一个函数(实数)。
比如：X(ω)就表示发生了事件ω时，这个函数的值。
7.随机变量的期望：

E[X]=∑ω∈ΩP(ω)X(ω)=∑xxP(X=x)

其中X=x的意思是，随机变量的值为x的事件(集合)。
太抽象了，举个例子：
实验是从刚刚那个学校里抽一个学生。
样本空间是所有学生组成的集合。
随机变量X是抽出来的那个学生的性别。
其实当X取1的时候，自变量可能有很多个。

E[X]=∑x1∗P(X=1)

8.期望的线性性：
设X,Y为两个随机变量：

E[aX+bY]=aE[X]+bE[Y]

9.全期望公式：
设有两个随机变量X,Y.
定义g(y)=E[X|Y=y]
那么有E[g(y)]=E[x]
合起来写的话E[E[X|Y]]=E[X]
10.概率转移网络：
一个带起点的有向网络，在u上的点有G[u,v]的概率转移到v，1−∑v∈VG[u,v]的概率直接消失掉。这个东西是可以解方程算的。
似乎期望题都要倒着推……并不知道为什么……
SDOI2012是一个高斯消元的题目，我现在才知道期望可以消…….

#include <bits/stdc++.h>#define Rep(i,n) for(int i = 1;i <= n;i ++)#define RepG(i,x) for(int i = head[x];~ i;i = edge[i].next)#define v edge[i].to#define Dwn(i,n) for(int i = n;i;i --)using namespace std;const int N = 20005;inline int read(){    int a=0,f=1; char c=getchar();    while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') f=-1; c=getchar();}    while (c>='0'&&c<='9') {a=a*10+c-'0'; c=getchar();}    return a*f;}int stk[N],tp,low[N],dfn[N],bel[N],scc,n,m,S,T,vis[N],ran[N],d[N],head[N],cnt,tim;double f[N],a[105][105],ans[105];vector<int>vec[N];const double eps = 1e-7;bool sgn(double t){return fabs(t) > eps;}struct Edge{int next,to;}edge[N*100];void save(int a,int b){edge[cnt] = (Edge){head[a],b},head[a] = cnt ++;d[a] ++;}void dfs(int x){    low[stk[++ tp] = x] = dfn[x] = ++ tim;    RepG(i,x)        if(!dfn[v])dfs(v),low[x] = min(low[v],low[x]);        else if(!bel[v])low[x] = min(low[x],dfn[v]);    if(low[x] == dfn[x])    {        int y,lst = 0;++ scc;        do{bel[y = stk[tp --]] = scc;vec[scc].push_back(y);ran[y] = ++ lst;}while(y != x);    }}void Gauss(int nn){    double x;int j;    Rep(i,nn)    {        for(j = i;j <= nn;++ j)if(sgn(a[j][i]))break;        if(j > nn)continue;        if(i != j)Rep(k,nn + 1)swap(a[i][k],a[j][k]);        for(j = i + 1;j <= nn;++ j)        {            x = a[j][i] / a[i][i];            if(!sgn(x))continue;            for(int k = i;k <= nn + 1;++ k)a[j][k] -= a[i][k] * x;        }    }    memset(ans,0,sizeof(ans));    Dwn(i,nn)    {        ans[i] = a[i][nn + 1];        if(fabs(a[i][i]) < eps)        {            printf("INF\n");            exit(0);        }        for(int j = i + 1;j <= nn;++ j)ans[i] -= a[i][j] * ans[j];        ans[i] /= a[i][i];    }}void dfs2(int y){    vis[y] = -1;    if(y == bel[T]){vis[y] = 1;return;}    for(int j = 0;j < vec[y].size();++ j)    {        int x = vec[y][j];        RepG(i,x)        {            if(bel[v] == y)continue;            if(!vis[bel[v]])dfs2(bel[v]);            if(vis[bel[v]] == 1)vis[y] = 1;        }    }}void solve(int xx){    int nn = vec[xx].size();    for(int yy = 0;yy < nn;++ yy)    {        int x = vec[xx][yy];        RepG(i,x)if(bel[v] != xx && !vis[bel[v]])solve(bel[v]);    }    memset(a,0,sizeof(a));    for(int i = 1;i <= nn;++ i)    {        a[i][i] = 1;        if(vec[xx][i - 1] == T)continue;        a[i][nn + 1] = 1;        int x = vec[xx][i - 1];        RepG(j,x)        {            int vv = edge[j].to;            if(bel[vv] == xx)a[i][ran[vv]] -= 1.0 / d[x];            else a[i][nn + 1] += 1.0 / d[x] * f[vv];        }    }    Gauss(nn);    Rep(i,nn)f[vec[xx][i - 1]] = ans[i];    vis[xx] = 1;}int main (){    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&S,&T);    memset(head,-1,sizeof(head));    Rep(i,m){int A,B;A = read(),B = read(),save(A,B);}    Rep(i,n)if(!dfn[i])dfs(i);    memset(vis,0,sizeof(vis));    dfs2(bel[S]);    Rep(i,scc)if(vis[i] < 0)return puts("INF"),0;    memset(vis,0,sizeof(vis));    solve(bel[S]);    printf("%.3f\n",f[S]);    return 0;}