EGGN 512 Lecture-13 Hough

Hough变换是一种根据边缘来对可能的的参数曲线（直线、圆锥曲线等）位置进行“投票”的方法。
检测直线
众所周知，直线在坐标空间中可以表示为

y=mx+b

给定一个点(x0,y0)，可以知道所有通过该点的直线都满足方程

y0=mx0+b

变换该方程的表示形式，将其转换到参数空间，得到

b=−x0m+y0

所有通过点(x0,y0)的直线所含有的两个参数m和b都要满足上述方程。如下图所示。

经过蓝色点(x1,y1)的直线在参数空间中由蓝色的直线表示，红色点(x2,y2)也是如此。红色直线和蓝色直线的交点(m′,b′)就是同时通过(x1,y1)和(x2,y2)的直线的参数，直线方程为y=m′x+b′。
这是此算法的最基本的原理，下面是具体步骤。
首先，初始化一个二维的累加计数器数组A(m,b)，将所有元素初始化为0。
然后，对于所给定的每一个边界基元(x,y)（图像的边界基元可以事先用canny算法等提取）扫描每一个m0，通过方程b=−x0m+y0计算其相应的b0的值，将这一对(m0,b0)的计数器加1。
最后，在累加计数器数组A(m,b)中寻找局部最大值，这些最大值所对应的(m,b)的值即为所检测到的直线的参数。

如图所示，其中10为某一个最大值，这表示有10个点为10所在的(m,b)的值“投票”，这一组(m,b)应该代表一条检测到的直线。
在现实使用中，由于累加计数器数组A的维数是有限的，而某些直线可能会有斜率m无穷大的情况。为避免此种情况，通常将直线方程表示为极坐标系下的如下形式。

ρ=xcosθ+ysinθ

此时的累加器数组的两个维度为ρ和θ，其他步骤均相似。
另外，在使用极坐标系时，我们如果知道每个边界基元的梯度方向，将能够减少算法复杂度。由于梯度的角度已经给出了直线的大概角度，因此，可以只利用梯度附近的一个范围内的θ值来计算向应得ρ值。
检测圆形
圆的方程为如下形式

(x−x0)2+(y−y0)2=r2

此时需要建立的累加计数器数组A应该有三个维度，分别为圆心坐标x0、y0和半径r。
对于每一个给定的边界基元(x,y)，计算每一个可能的圆心所对应的半径的数值，并增加相应累加计数器数组A的数目。最后寻找局部最大值，其对应的位置即为所检测到的圆形。
检测抛物线
与检测圆形类似，只需要将方程形式改为抛物线方程即可，如下。

y−y0=a(x−x0)2

Hough变换是一种有效的形状提取算法，也有其相应的优缺点。
优点：

1. 算法实现容易
2. 对于噪声和缺失点稳定性好

缺点：

1. 需要仔细选择累加器的区间范围
   由于累加器的坐标都是整数，可是通过方程计算的结果可能并不是整数（如探测直线时计算出的ρ，涉及三角函数运算），因此，对于计算所得到结果应该近似地为哪一个区间进行“投票”需要仔细考虑。小的区间间隔当然可以得到更高的精度，但也意味着运行时间的增长，同时每个区间的累加计数会相应减少，寻找局部最大值变得困难。