【BZOJ 2154】【JZOJ 1938】【2011集训队出题】Crash的数字表格
来源:互联网 发布:linux snmp trap 接收 编辑:程序博客网 时间:2024/05/22 16:53
Description
今天的数学课上,Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple)。对于两个正整数a和b,LCM(a, b)表示能同时被a和b整除的最小正整数。例如,LCM(6, 8) = 24。回到家后,Crash还在想着课上学的东西,为了研究最小公倍数,他画了一张N*M的表格。每个格子里写了一个数字,其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i, j)。一个4*5的表格如下:
看着这个表格,Crash想到了很多可以思考的问题。不过他最想解决的问题却是一个十分简单的问题:这个表格中所有数的和是多少。当N和M很大时,Crash就束手无策了,因此他找到了聪明的你用程序帮他解决这个问题。由于最终结果可能会很大,Crash只想知道表格里所有数的和mod 20101009的值。
Solution
抽象题意:求:
∑i=1n∑j=1mi∗jgcd(i,j)
用一个简单的繁衍,
设
同时设:
我们发现g很好求:
于是:
用分块搞,
也用分块搞,
复杂度:
Code
有点小慢
#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstdlib>#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)using namespace std;typedef long long LL;const int N=1e7+10,mo=20101009;const LL ny2=10050505,ny4=15075757;int n,m;int pr[N],mu[N];bool prz[N];int f[N];LL ans;void pre(int n){ mu[1]=1; fo(i,2,n) { if(!prz[i])pr[++pr[0]]=i,mu[i]=-1; fo(j,1,pr[0]) { int t=i*pr[j]; if(t>n)break; prz[t]=1; if(i%pr[j]==0){mu[t]=0;break;} mu[t]=-mu[i]; } } fo(i,1,n)f[i]=((LL)mu[i]*i%mo*i%mo+f[i-1])%mo;}LL fk(int d){ LL ans=0; LL l=1,nd=n/d,md=m/d; while(l<=nd) { LL r=min(nd/(nd/l),md/(md/l)); LL t=(nd/l)*(nd/l+1)%mo*(md/l)%mo*(md/l+1)%mo; ans=(ans+t*(f[r]-f[l-1])%mo)%mo; l=r+1; } return ans*ny4%mo;} int main(){ scanf("%d%d",&n,&m); if(n>m)swap(n,m); pre(n); LL l=1; while(l<=n) { LL r=min(n/(n/l),m/(m/l)); ans=((LL)ans+fk(l)*((l+r)*(r-l+1)%mo*ny2%mo)%mo)%mo; l=r+1; } printf("%lld\n",(ans+mo)%mo); return 0;}
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