POJ 1664 整数划分问题

整数划分问题是算法中的一个经典命题之一，有关这个问题的讲述在讲解到递归时基本都将涉及。所谓整数划分，是指把一个正整数n写成如下形式：
       n=m1+m2+...+mi; （其中mi为正整数，并且1 <= mi <= n），则{m1,m2,...,mi}为n的一个划分。
       如果{m1,m2,...,mi}中的最大值不超过m，即max(m1,m2,...,mi)<=m，则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m);
       例如当n=4时，他有5个划分，{4},{3,1},{2,2},{2,1,1},{1,1,1,1};
       注意4=1+3 和 4=3+1被认为是同一个划分。
       该问题是求出n的所有划分个数，即f(n, n)。下面我们考虑求f(n,m)的方法;
1.递归法：
       根据n和m的关系，考虑以下几种情况：
        （1）当n=1时，不论m的值为多少（m>0)，只有一种划分即{1};
        (2) 当m=1时，不论n的值为多少，只有一种划分即n个1，{1,1,1,...,1};
        (3) 当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：
              (a). 划分中包含n的情况，只有一个即{n}；
              (b). 划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有(n-1)划分。
              因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1);
        (4) 当n<m时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于f(n,n);
        (5) 但n>m时，根据划分中是否包含最大值m，可以分为两种情况：
               (a). 划分中包含m的情况，即{m, {x1,x2,...xi}}, 其中{x1,x2,... xi} 的和为n-m，因此这种情况下
                 为f(n-m,m)
               (b). 划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的(m-1)划分，个数为f(n,m-1);
              因此 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);
      综上所述：
                             f(n, m)=   1;                (n=1 or m=1)
                             f(n, n);                        (n<m)
                             1+ f(n, m-1);                (n=m)
                             f(n-m,m)+f(n,m-1);      (n>m)

代码如下：

#include<iostream>#include<string>#include<string.h>#include<cstdio>#include<algorithm>using namespace std;int fun(int n, int m){if(n == 1 || m == 1) return 1;else if(n < m) return fun(n, n);else if(n == m) return (1 + fun(n, m - 1));else return (fun(n, m - 1) + fun(n - m, m));}int main(){//freopen("Input.txt", "r", stdin);int N;scanf("%d", &N);while(N--){int n;scanf("%d", &n);printf("%d\n", fun(n, n));}return 0;}

/*    解题分析：        设f(m,n) 为m个苹果，n个盘子的放法数目，则先对n作讨论，        当n>m：必定有n-m个盘子永远空着，去掉它们对摆放苹果方法数目不产生影响。即if(n>m) f(m,n) = f(m,m)　　        当n<=m：不同的放法可以分成两类：        1、有至少一个盘子空着，即相当于f(m,n) = f(m,n-1);          2、所有盘子都有苹果，相当于可以从每个盘子中拿掉一个苹果，不影响不同放法的数目，即f(m,n) = f(m-n,n).        而总的放苹果的放法数目等于两者的和，即 f(m,n) =f(m,n-1)+f(m-n,n)     递归出口条件说明：        当n=1时，所有苹果都必须放在一个盘子里，所以返回１；        当没有苹果可放时，定义为１种放法；        递归的两条路，第一条n会逐渐减少，终会到达出口n==1;         第二条m会逐渐减少，因为n>m时，我们会return f(m,m)　所以终会到达出口m==0．*/#include<stdio.h>int fun(int m,int n)  //m个苹果放在n个盘子中共有几种方法{    if(m==0||n==1)  //因为我们总是让m>=n来求解的，所以m-n>=0,所以让m=0时候结束，如果改为m=1，        return 1;    //则可能出现m-n=0的情况从而不能得到正确解        if(n>m)        return fun(m,m);    else        return fun(m,n-1)+fun(m-n,n);}int main(){    int T,m,n;    scanf("%d",&T);    while(T--)    {        scanf("%d%d",&m,&n);        printf("%d\n",fun(m,n));    }}