请初高中及大学老师回答，为什么？（鸽巢原理：排列组合问题）

题目（应用了鸽巢原理）

某棒球队在30天的一个月里至多打45场比赛，每天至少打一场比赛，证明一定有连续的若干天内该队恰好打了14场比赛。

证法

证明

a1,a2,…,a30表示从第1天到第i天一共打的比赛场数，那么

a1<a2<...<a30

这步没有问题
那么

a1+14<a2+14<...<a30+14a1>=1,a30+14<59

到这也没有问题。

所以，存在i,j，使得ai + 14 = aj。

这步就不明白了，为什么？有人回答么？
另外，这怎么就证明了，连续的若干天内恰好打了14场比赛了？

数学真是让人觉得一点道理都没有的东西啊