[leetcode] 363. Max Sum of Rectangle No Larger Than K

Given a non-empty 2D matrix matrix and an integer k, find the max sum of a rectangle in the matrix such that its sum is no larger than k.

Example:

Given matrix = [  [1,  0, 1],  [0, -2, 3]]k = 2

The answer is 2. Because the sum of rectangle [[0, 1], [-2, 3]] is 2 and 2 is the max number no larger than k (k = 2).

Note:

1. The rectangle inside the matrix must have an area > 0.
2. What if the number of rows is much larger than the number of columns?

这道题是找二维数组中相加和最大且不大于K的矩形，题目难度为Hard。

乍一看题目蛮复杂的，如果把题目从二维降到一维该如何处理呢？一维数组中处理起来相对简单很多，遍历一维数组，用curSum[j]表示位置j之前所有数组元素之和，依次将curSum存入set中（用set存储便于后续二分查找），遍历到位置j时，如果j之前存在位置i满足curSum[j] - curSum[i] <= K，表明以位置j结尾的序列有满足条件不大于K的，在set中二分查找curSum[j] - K，查找到的位置即是以j结尾且相加和不大于K的最大序列的开始位置，最后比较并更新最大序列和；如果不存在满足curSum[j] - curSum[i] <= K的位置i，表明以位置j结尾的所有序列相加和均大于K。遍历整个一维数组即可得到最终结果。具体代码如下：

int maxSumSeq(vector<int>& num, int k) {    if(num.empty()) return 0;    int ret = INT_MIN, curSum = 0;    set<int> sum;    sum.insert(0);    for(int i=0; i<num.size(); ++i) {        curSum += num[i];        auto it = sum.lower_bound(curSum-k);        if(it != sum.end()) ret = max(ret, curSum-*it);        sum.insert(curSum);    }    return ret;}

在set中插入0是为了方便二分查找，同时表示下标0之前相加和是0。

一维数组问题解决了，如何扩展到二维数组呢？通过双层遍历行或列即可得到行或列所有可能的区间，例如选择列来进行遍历，针对每个列区间计算该区间中每行区间内元素之和，将列区间内每行元素作为一个整体，这样就把二维数组问题转化为一维数组了，再按照上面处理一维数组的方法即可得到最终结果。具体代码：

class Solution {public:    int maxSumSubmatrix(vector<vector<int>>& matrix, int k) {        int row = matrix.size();        if(!row) return 0;        int col = matrix[0].size();        if(!col) return 0;        int ret = INT_MIN;                for(int i=0; i<col; ++i) {            vector<int> sum(row, 0);            for(int j=i; j<col; ++j) {                for(int r=0; r<row; ++r) sum[r] += matrix[r][j];                int curSum = 0, curMax = INT_MIN;                set<int> sumSet;                sumSet.insert(0);                for(int r=0; r<row; ++r) {                    curSum += sum[r];                    auto it = sumSet.lower_bound(curSum-k);                    if(it != sumSet.end()) curMax = max(curMax, curSum-*it);                    sumSet.insert(curSum);                }                ret = max(ret, curMax);            }        }                return ret;    }};

题目追问行比列大很多的情况如何优化？假如矩阵为m行n列，则上面代码的时间复杂度为O(n^2*mlogm)，如果外层循环选择行进行遍历，则复杂度变为O(m^2*nlogn)，比列遍历大很多，所以在代码中外层循环选择列进行遍历。