【矩阵+十进制快速幂】[NOI2013]矩阵游戏

题目描述

婷婷是个喜欢矩阵的小朋友,有一天她想用电脑生成一个巨大的 n 行 m 列的矩阵（你不用担心她如何存储）。她生成的这个矩阵满足一个神奇的性质：
若用 Fi,j 来表示矩阵中第 i 行第 j 列的元素，则 Fi,j 满足下面的递推式：

⎧⎩⎨⎪⎪F1,1Fi,jFi,1===1a⋅Fi,j−1+bc⋅Fi−1,m+dj≠1i≠1

递推式中 a,b,c,d 都是给定的常数。现在婷婷想知道 Fn,m 的值是多少，请你帮助她。由于最终结果可能很大，你只需要输出 Fn,m 除以 1000000007 的余数。

输入格式

包含一行有六个整数 n,m,a,b,c,d。意义如题所述。

输出格式

表示 Fn,m 除以 1000000007 的余数。

样例一

input

3 4 1 3 2 6

output

85

explanation

样例中的矩阵为：

⎛⎝⎜126764297973282103585⎞⎠⎟

样例二

见样例数据下载。

限制与约定

测试点编号数据范围11≤n,m≤10；1≤a,b,c,d≤100021≤n,m≤100；1≤a,b,c,d≤100031≤n,m≤103；1≤a,b,c,d≤10941≤n,m≤103；1≤a,b,c,d≤10951≤n,m≤109；1≤a=c≤109；1≤b=d≤10961≤n,m≤109；a=c=1；1≤b,d≤10971≤n,m,a,b,c,d≤10981≤n,m,a,b,c,d≤10991≤n,m,a,b,c,d≤109101≤n,m,a,b,c,d≤109111≤n,m≤101000；a=c=1；1≤b,d≤109121≤n,m≤101000；1≤a=c≤109；1≤b=d≤109131≤n,m≤101000；1≤a,b,c,d≤109141≤n,m≤101000；1≤a,b,c,d≤109151≤n,m≤1020000；1≤a,b,c,d≤109161≤n,m≤1020000；1≤a,b,c,d≤109171≤n,m≤101000000；a=c=1；1≤b,d≤109181≤n,m≤101000000；1≤a=c≤109；1≤b=d≤109191≤n,m≤101000000；1≤a,b,c,d≤109201≤n,m≤101000000；1≤a,b,c,d≤109

时间限制：1s

空间限制：256MB

分析

可以很容易地推出矩阵

每一行

(Fi,j+11)=(Fi,j1)×(ab01)

行之间

(Fi+1,11)=(Fi,m1)×(cd01)

然后可以快速幂算出Fi,1和Fi,m，然后算出和Fi+1,1之间的矩阵。然后继续快速幂就好了。

由于指数是高精度数，所以使用十进制快速幂算比较方便。

代码

ps:高精度粘的版，很长。。。

#include<cstdio>#include<algorithm>#include<cstring>#define MOD 1000000007#define MAXLEN 1000000using namespace std;int a,b,c,d;char s[MAXLEN+10];void Read(int &x){    char c;    while(c=getchar(),c!=EOF)        if(c>='0'&&c<='9'){            x=c-'0';            while(c=getchar(),c>='0'&&c<='9')                x=x*10+c-'0';            ungetc(c,stdin);            return;        }}void Read_mod(int &x){    char c;    while(c=getchar(),c!=EOF)        if(c>='0'&&c<='9'){            x=c-'0';            while(c=getchar(),c>='0'&&c<='9')                x=(1ll*x*10+c-'0')%(MOD-1);            ungetc(c,stdin);            return;        }}struct Matrix{    int a[2][2]; // f 1    inline Matrix(){        memset(a,0,sizeof a);    }    inline Matrix(int){        memset(a,0,sizeof a);        for(int i=0;i<2;i++)            a[i][i]=1;    }    inline Matrix operator*(const Matrix &b)const{        Matrix c;        int i,j,k;        for(i=0;i<2;i++)            for(j=0;j<2;j++)                if(a[i][j])                    for(k=0;k<2;k++)                        c.a[i][k]=(c.a[i][k]+1ll*a[i][j]*b.a[j][k])%MOD;        return c;    }    inline Matrix &operator*=(const Matrix &b){        return *this=*this*b;    }}A,B,C;struct hp{    int a[MAXLEN+10];    hp(){        memset(a,0,sizeof a);        a[0]=1;    }    hp(int n){        memset(a,0,sizeof a);        a[0]=0;        while(n){            a[++a[0]]=n%10;            n/=10;        }        if(!a[0])            a[0]=1;    }    hp(char *s){        memset(a,0,sizeof a);        int len=strlen(s);        for(int i=1;i<=len;i++)            a[i]=s[len-i]-'0';        a[0]=len;    }    hp operator*(const hp &b)const{        hp c;        int i,j,len=a[0]+b.a[0];        for(i=1;i<=a[0];i++)            for(j=1;j<=b.a[0];j++)                c.a[i+j-1]+=a[i]*b.a[j];        for(i=1;i<len;i++){            c.a[i+1]+=c.a[i]/10;            c.a[i]%=10;        }        while(len>1&&!c.a[len])            len--;        c.a[0]=len;        return c;    }    hp operator/(int b)const{        hp c;        int d=0,i,len=a[0];        for(i=a[0];i;i--){            d=d*10+a[i];            c.a[i]=d/b;            d%=b;        }        while(len>1&&!c.a[len])            len--;        c.a[0]=len;        return c;    }    hp operator+(const hp &b)const{        hp c;        int len=max(a[0],b.a[0]),i;        for(i=1;i<=len;i++){            c.a[i]+=a[i]+b.a[i];            c.a[i+1]=c.a[i]/10;            c.a[i]%=10;        }        len++;        while(len>1&&!c.a[len])            len--;        c.a[0]=len;        return c;    }    hp operator-(const hp &b)const{        hp c;        int i,len=a[0];        for(i=1;i<=len;i++){            c.a[i]+=a[i]-b.a[i];            if(c.a[i]<0)                c.a[i]+=10,c.a[i+1]--;        }        while(len>1&&!c.a[len])            len--;        c.a[0]=len;        return c;    }    void operator*=(const hp &x){        *this=*this*x;    }    void operator/=(const int &x){        *this=*this/x;    }    void operator+=(const hp &x){        *this=*this+x;    }    void operator-=(const hp &x){        *this=*this-x;    }    void print(){        for(int i=a[0];i;i--)            printf("%d",a[i]);    }    bool operator>(const hp&b)const{        if(a[0]>b.a[0])            return 1;        if(a[0]<b.a[0])            return 0;        for(int i=a[0];i;i--)            if(a[i]>b.a[i])                return 1;            else if(a[i]<b.a[i])                return 0;        return 0;    }    bool operator<(const hp&b)const{        if(a[0]<b.a[0])            return 1;        if(a[0]>b.a[0])            return 0;        for(int i=a[0];i;i--)            if(a[i]<b.a[i])                return 1;            else if(a[i]>b.a[i])                return 0;        return 0;    }    bool operator<=(const hp&b)const{        return !(*this>b);    }    hp operator/(const hp&b)const{        hp l(0),r(*this),mid;        while(l<r){            mid=(l+r+1)/2;            if(mid*b<=*this)                l=mid;            else                r=mid-1;        }        return l;    }    void operator/=(const hp&b){        *this=*this/b;    }}n,m;template<class T>T quick_pow(T a,int b){    T ret(1);    while(b){        if(b&1)            ret*=a;        a*=a;        b>>=1;    }    return ret;}void read(){    scanf("%s",s);    n=s;    scanf("%s",s);    m=s;    Read(a),Read(b),Read(c),Read(d);}template<class T>T quick_pow10(T a,hp b){    int i;    T ret(1),c[10];    c[0]=ret;    for(i=1;i<10;i++)        c[i]=c[i-1]*a;    for(i=b.a[0];i;i--){        ret=quick_pow(ret,10);        ret*=c[b.a[i]];    }    return ret;}void solve(){    A.a[0][0]=a,A.a[1][0]=b,A.a[1][1]=1;    B=quick_pow10(A,m-1);    C.a[0][0]=c,C.a[1][0]=d,C.a[1][1]=1;    A=B*C;    A=quick_pow10(A,n-1);    A*=B;}int main(){    read();    solve();    printf("%d\n",(A.a[0][0]+A.a[1][0])%MOD);}