Stree 解题报告

Stree

题目描述

给出n个点,m条有权边,现对于每一条边，你需要回答出包含这条边的最小生成树的总边权值。

输入格式

第一行两个数n,m
接下来m行i,j,k,表示i与j间有一条权值为k的边

输出格式

m行答案。

样例输入

5 7
1 2 3
1 3 1
1 4 5
2 3 2
2 5 3
3 4 2
4 5 4

样例输出

9
8
11
8
8
8
9

数据范围

30% n<=1000
100% n,m<=200000

题解

首先，这道题是一道码农题，根据题目给出的边，我们先构造一棵最小生成树，那么构成这个最小生成树的n-1条边对应的答案自然就是这个生成树的边权和S，这样，我们就解决了n-1个询问。

那么，关于剩下的边的询问怎么算答案呢？

假设我们构造的最小生成树如下，我们将要进行的询问的边为（X,Y）

如果，我们选择（X,Y）这条边，那么此最小生成树便会变成一个环上上很多棵树的图。
就如下图：

绿色的边加上橙色的边（边XY）构成的即为环，不能看出绿色的边即为点X和点Y到他们的lca（最近公共祖先）的路径，然后我们的目标就是在路径上删掉一条边，使得此图再次成为一棵树，为了使答案最优，我们要选一条边权最大的边作为被删的边，用倍增算法求lca，在求lca的时候顺带记录一下跳过的那些边权的最大值即可。

那么答案即为S+cost(X,Y)-edge weightmax

Code(Pascal)

var    bz:array[0..200010] of boolean;    fa,en,sd:array[0..200010] of longint;    f,mx:array[0..200010,0..20] of int64;    bj:array[0..400010,1..3] of int64;    yb:array[0..400010,1..4] of int64;    tj:array[0..200010] of int64;    n,m,j,k,l,i,o,p,f1,f2,jx:longint;    ans:int64;function max(a,b:int64):int64;    begin        if a>b then exit(a)        else exit(b);    end;function min(a,b:int64):int64;    begin        if a<b then exit(a)        else exit(b);    end;function search(o:longint):longint;    begin        if fa[o]=o then exit(o);        fa[o]:=search(fa[o]);        exit(fa[o]);    end;procedure qsortyb(l,r:longint);    var        i,j:longint;        m:int64;    begin        i:=l;        j:=r;        m:=yb[(l+r) div 2,3];        repeat            while yb[i,3]<m do inc(i);            while yb[j,3]>m do dec(j);            if i<=j then            begin                yb[0]:=yb[i];                yb[i]:=yb[j];                yb[j]:=yb[0];                inc(i);                dec(j);            end;        until i>j;        if l<j then qsortyb(l,j);        if i<r then qsortyb(i,r);    end;procedure add(X,Y,Z:INT64);    begin        inc(en[x]);        inc(en[y]);        inc(o);        bj[o,1]:=x;        bj[o,2]:=y;        bj[o,3]:=z;        inc(o);        bj[o,1]:=y;        bj[o,2]:=x;        bj[o,3]:=z;    end;procedure bh;    var        i,k:longint;    begin        randomize;        for i:=1 to o div 2 do        begin            k:=i+random(o div 2);            bj[0]:=bj[k];            bj[k]:=bj[i];            bj[i]:=bj[0];        end;    end;procedure qsort(l,r:longint);    var        i,j,m:longint;    begin        i:=l;        j:=r;        m:=bj[(l+r) div 2,1];        repeat            while bj[i,1]<m do inc(i);            while bj[j,1]>m do dec(j);            if i<=j then            begin                bj[0]:=bj[i];                bj[i]:=bj[j];                bj[j]:=bj[0];                inc(i);                dec(j);            end;        until i>j;        if l<j then qsort(l,j);        if i<r then qsort(i,r);    end;procedure dg(o:longint);    var        i,j,m:longint;    begin        j:=0;        while f[f[o,j],j]>0 do        begin            f[o,j+1]:=f[f[o,j],j];            mx[o,j+1]:=max(mx[o,j],mx[f[o,j],j]);            inc(j);        end;        for i:=en[o-1]+1 to en[o] do        if bj[i,2]<>f[o,0] then        begin            f[bj[i,2],0]:=o;            mx[bj[i,2],0]:=bj[i,3];            sd[bj[i,2]]:=sd[o]+1;            dg(bj[i,2]);        end;    end;function xz(x,y:longint):int64;    var        k:longint;        p:int64;    begin        k:=jx;        p:=0;        if sd[x]<sd[y] then        while k>=0 do        begin            if sd[f[y,k]]>=sd[x] then            begin                p:=max(p,mx[y,k]);                y:=f[y,k];            end;            dec(k);        end;        if sd[x]>sd[y] then        while k>=0 do        begin            if sd[f[x,k]]>=sd[y] then            begin                p:=max(p,mx[x,k]);                x:=f[x,k];            end;            dec(k);        end;        k:=jx;        while (k>=0) do        begin            if f[x,k]<>f[y,k] then            begin                p:=max(p,mx[x,k]);                p:=max(p,mx[y,k]);                x:=f[x,k];                y:=f[y,k];            end;            dec(k);        end;        while x<>y do        begin            p:=max(p,mx[x,0]);            p:=max(p,mx[y,0]);            x:=f[x,0];            y:=f[y,0];        end;        exit(p);    end;begin    assign(input,'street.in'); reset(input);    assign(output,'street.out'); rewrite(output);    readln(n,m);    jx:=min(20,trunc(ln(n)/ln(2))+1);    for i:=1 to m do    begin        readln(yb[i,1],yb[i,2],yb[i,3]);        yb[i,4]:=i;    end;    for i:=1 to n do    fa[i]:=i;    qsortyb(1,m);    ans:=0;    for i:=1 to m do    if search(yb[i,1])<>search(yb[i,2]) then    begin        f1:=search(yb[i,1]);        f2:=search(yb[i,2]);        fa[f2]:=f1;        ans:=ans+yb[i,3];        add(yb[i,1],yb[i,2],yb[i,3]);        bz[i]:=true;    end;    for i:=1 to n do    en[i]:=en[i-1]+en[i];    bh;    qsort(1,o);    sd[1]:=1;    dg(1);    for i:=1 to m do    if bz[i] then tj[yb[i,4]]:=ans    else tj[yb[i,4]]:=ans+yb[i,3]-xz(yb[i,1],yb[i,2]);    for i:=1 to m do    writeln(tj[i]);    close(input);    close(output);end.