凸优化学习笔记(1)——凸集
来源:互联网 发布:列宁格勒 知乎 编辑:程序博客网 时间:2024/05/18 00:47
笔记是根据《Convex Optimization》写的,序号对应章。
2 凸集
2.1 凸集(convex sets)
如果在集合
其中
2.2 重要例子
1) 超平面与半空间(hyperplanes and halfspaces)
超平面定义为
2) 球和椭球
球的形式为
椭球的形式为
其中
3) 范数球和范数锥
范数球为:
范数锥为:
4) 多面体
5) 半正定锥
满足如下条件的集合
2.3 保凸运算
1) 交集
如果
2) 仿射函数
仿射函数即线性函数加常数。如果
3) 线性分式以及透视函数
透视函数即
线性分式即
2.4 广义不等式
广义不等式即定义了拥有多个分量的变量之间的比较:
2.5 minimum and minimal
Minimum即能和集合内所有点进行比较,且最小。Minimal即在集合内能比较的所有点中最小。
左图为minimum,右图为minimal。
2.6 分割面与支撑面
分割面即能将两个集合分开的超平面,有严格不严格之分,严格即两个集合没有交点。两个凸集一定存在一个分割面。
支撑面即集合边缘有个点使得
2 0
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