费马小定理

内容：

若p是素数，则a^p≡a(mod p);
当(a,b)=1时，
a^(p-1)=1(mod p)

证明：

引理1．剩余系定理2若a,b,c为任意3个整数，m为正整数，且(m,c)=1,则当ac≡bc(modm)时，有a≡b(modm)

证明：ac≡bc(mod m)可得ac–bc≡0(mod m)可得(a-b)c≡0(mod m)因为(m,c)=1即m,c互质，c可以约去，a–b≡0(mod m)可得a≡b(mod m)

引理2．剩余系定理5若m为整数且m>1,a[1],a[2],a[3],a[4],…a[m]为m个整数，若在这m个数中任取2个整数对m不同余，则这m个整数对m构成完全剩余系。

证明：构造m的完全剩余系（0,1,2,…m-1），所有的整数必然这些整数中的1个对模m同余。取r[1]=0,r[2]=1,r[3]=2,r[4]=3,…r=i-1,1引理3．剩余系定理7设m是一个整数，且m>1，b是一个整数且(m,b)=1。如果a1,a2,a3,a4,…am是模m的一个完全剩余系，则ba[1],ba[2],ba[3],ba[4],…ba[m]也构成模m的一个完全剩余系。

证明：若存在2个整数ba和ba[j]同余即ba≡ba[j](mod m)，根据引理2则有a≡a[j](mod m)。根据完全剩余系的定义和引理4（完全剩余系中任意2个数之间不同余，易证明）可知这是不可能的，因此不存在2个整数ba和ba[j]同余。由引理5可知ba[1],ba[2],ba[3],ba[4],…ba[m]构成模m的一个完全剩余系。

引理4．同余定理6如果a,b,c,d是四个整数，且a≡b(mod m),c≡d(mod m),则有ac≡bd(mod m)

证明：由题设得ac≡bc(mod m),bc≡bd(mod m)，由模运算的传递性可得ac≡bc(mod m)

证明

假如a和b 的 差不能被n整除的话 ， 那么假如x>0和x和n的最 大 公约数为1 的 话 ， 则x•a与x•b 的 差也不能 被n整除。取A为所有小于p 的 整数的集（A中的数都不能被p整除），B为A中所有元素乘 以a所获得的 数的 集。任何两 个A中 的 元素的差都不能被p整除。由此任何两个B中的元素的差也无法被p整除。由此

1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (p-1) \equiv (1 \cdot a)\cdot(2 \cdot a)\cdot\dots\cdot ((p-1) \cdot a) \pmod,

既

W \equiv W\cdot a^ \pmod,

在这里W=1•2•3•…•(p-1)。将整个公式除以W既得到：

a^ \equiv 1 \pmod

广义：

费马小定理是欧拉定理的一个特殊情况：假如n和a的最大公约数是1的话，那么

a^{\varphi (n)} \equiv 1 \pmod

在这里φ(n)是欧拉商数。欧拉商数的值是所有小于n的自然数中与n没有公约数的数的量。假如n是一个质数，则φ(n) = n-1，即费马小定理。

在费马小定理的基础上费马提出了一种测试质数的算法。