算法系列（十三）图论基本概念和拓扑排序

图的定义

一个图G=（V,E）,由定点的集合V，和边的集合E组成。每一条边都是一副点对（v，w）,边也称作弧，边上可以有权值。如果点对是有序的，那么图就是有向的。

图中的一条路径是一个顶点序列w1,w2,w3......wN,如果图中包含一条从顶点到自身的边，那么这个路径就是环。

有向无环图也成为DAG

如果在一个无向图中每个顶点到其它顶点都存在路径，则称这个无向图是连通的。具有这样性质的有向图被称为是强连通的。如果一个有向图不是强连通的，但是去掉方向后的基础图是连通的，那么该有向图称为是弱连通的。完全图是每一对顶点间都存在一条边的图。

进入一个顶点的边的个数称为该顶点的入度。每个有向无环图必定至少存在一个入度为0的顶点，至少存在一个出度为0的顶点，否则图中必然存在环。

图的表示

表示图的一种简单方法是使用一个二维数组，称为邻接矩阵。

如果图是稀疏的，更好的解决方法是使用邻接表。

拓扑排序

拓扑排序是对有向五环图的顶点排序，使得如果存在一条vi到vj的路径，那么在排序中vj在vi的后面。拓扑排序是不唯一的。

该DAG的拓扑序列为A B C D或者A C B D

拓扑排序的实现

先找出任意一个没有入边的顶点，然后显示该顶点，将它及其边删除，然后对图的其余部分做相同处理。

package com.algorithm.graphics;import java.util.Stack;import java.util.Vector;/** * 拓扑排序 *  * @author chao * */public class TopSortGraph {int vertexNum;Vector[] vector;Stack stack;int[] result;int[] in;// 入度/** *  * 构造一个图 *  * @param num *            图的顶点数 *  */public TopSortGraph(int num) {vertexNum = num;vector = new Vector[vertexNum];stack = new Stack();result = new int[vertexNum];in = new int[vertexNum];}/** * 向图中添加无向边 *  * @param I *            边的一个顶点 * @param J *            边的另一个顶点 * @return 是否添加成功 */public boolean addEdge(int I, int J) {/** * 判断用户输入的是否是一个顶点，如果是，则返回flase,添加不成功 */if (J == I) {return false;}/** * 判断所输入的顶点值是否在图所顶点范围值内，如果不在，则提示顶点不存在 *  */if (I < vertexNum && J < vertexNum && I >= 0 && J >= 0) {/** *  * 判断边是否存在 */if (isEdgeExists(I, J)) {return false;}/** * 添加边，将孤头的入度加1 */vector[I].add(J);in[J]++;return true;}return false;}/** * 判断有向边是否存在 *  * @param i *            要查询的有向边的一个孤尾 * @param j *            要查询的有向边的另一个孤头 * @return 边是否存在，false:不存在，true:存在 */public boolean isEdgeExists(int i, int j) {/** * 判断所输入的顶点值是否在图所顶点范围值内，如果不在，则提示顶点不存在 *  */if (i < vertexNum && j < vertexNum && i >= 0 && j >= 0) {if (i == j) {return false;}/** * 判断i的邻接结点集是否为空 */if (vector[i] == null) {vector[i] = new Vector();}/** * 判断这条边是否存在，如果存在，则提示边已经存在 */for (int q = 0; q < vector[i].size(); q++) {if (((Integer) vector[i].get(q)).intValue() == j) {System.out.println("顶点" + i + "和" + "顶点" + j + "这两点之间存在边");return true;}}}return false;}/** * 拓扑排序 */public void TopSort() {for (int i = 0; i < vertexNum; i++)if (in[i] == 0)stack.push(i);int k = 0;while (!stack.isEmpty()) {result[k] = (Integer) stack.pop();if (vector[result[k]] != null) {for (int j = 0; j < vector[result[k]].size(); j++) {int temp = (Integer) vector[result[k]].get(j);if (--in[temp] == 0) {stack.push(temp);}}}k++;}if (k < vertexNum) {System.out.println("有回路");System.exit(0);}}/** * 拓扑结果 *  * @return */public int[] getResult() {return result;}}

代码实现可以看github，地址https://github.com/robertjc/simplealgorithm

github代码也在不断完善中，有些地方可能有问题，还请多指教

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