n ! 的素数因子分解式

• N！= p1^t1 * p2^t2 * p3^t3* … * pk^tk（其中，p1, p2, … pk为素数，素数可以组成每一个大于1的数码，1< N <= 10^6)

• 显然可以通过素数线性筛除每一个pi，因为1 < pi <= N，那么问题在于如何求出 ti （即素数pi的个数)。

  1. 把 N! 分成奇偶两部分 ( 假设N为偶数 )
  2. N! = 1*2*3*4*5*6*……*N
     N!=(2*4*6*8*…N) (1*3*5*7*…(N-1))
     N!=2^(N/2)(1*2*3*4*5*6……(N/2))(1*3*5*7*……*(N-1) )
     N!=2^(N/2)(N/2)!(1*3*5*……*(N-1))
  3. 所以N规模的问题转换为N/2规模了，原来求N！含有素数2的个数，等价于求(N/2)!含有素数2的个数加上N/2了。上面是N为偶数的算法，N为奇数时也是一样。
  4. 递推式f(n, 2) = f(n/2, 2) + n/2，表示n!中2的个数。
  5. 同理，推出 f(n, p) = f(n/p, p) + n/p，表示n!中素数p的个数。

代码：

int f(int n, int p){    if(n==0)        return 0;    return f(n/p) + n/p;}

练习：

• 问题：N!的末尾有几个0？
• 因为 10 = 2*5，所以只要知道N! 有多少个2和多少个5, 问题就解决了。
  Min ( f(n, 2), f(n, 5)) 显然f(n, 2) > f(n, 5)，所以只需要求出f(n, 5)。