射线与球的相交性检测

来源：互联网发布：sql2000数据库恢复编辑：程序博客网时间：2024/05/17 04:51

从图形来说

射线和圆相交, origin是射线起点， dir是射线的方向向量。p0，p1是两个交点，center为圆心，半径为R，d为圆心到射线的距离。

我们先以2D切面图来说明，当射线和圆相交的时候，可以看到，球心 center 到射线 ray 的距离 d <= R，这个即为相交的条件。那么射线与球相切就转化为了球心到射线的距离d的判断。先求出d：

设圆心在射线上的投影为c'，则 origin，center, c' 形成了一个直角三角形。
获得射线起点到圆心的向量 Voc = Vcenter - Vorigin
在射线方向上的投影为: Poc = Voc·dir
勾股定理：d·d = Voc·Voc - Poc·Poc

可以求出d的数值，

d < R，射线穿过圆，与圆有两个交点。
d = R，射线与圆相切，有一个交点为切点。
d > R，射线在圆外，没有交点。

接下来求P0，P1：

c'，center，P0 or P1点构成直角三角形。
P0 or P1到c'的距离 tca·tca = R·R - d·d;
有如下式子

P0 = dir·( |Poc| - tca );P1 = dir·( |Poc| + tca );

要注意，没有交点的时候， tca·tca < 0 是没办法开平方的

推导三维情况可以照上面的去做，dot能保证投影点在同一个平面上的。

附代码

bool Intersect(const Ray& ray, const Sphere& sphere, float& t0, float& t1){    Vector3 oc = sphere.GetCenter() - ray.GetOrigin();    float projoc = dot(ray.GetDirection(), oc);    if (projoc < 0)        return false;    float oc2 = dot(oc, oc);    float distance2 = oc2 - projoc * projoc;   //计算出的球心到射线的距离    if (distance2 > sphere.GetRadiusSquare())        return false;    float discriminant = sphere.GetRadiusSquare() - distance2;  //使用勾股定理，计算出另一条边的长度    if(discriminant < FLOAT_EPSILON)   //表明只有一个交点，射线与球相切        t0 = t1 = projoc;    else    {        discriminant = sqrt(discriminant);        t0 = projoc - discriminant;        t1 = projoc + discriminant;        if (t0 < 0)            t0 = t1;    }    return true;}

从方程角度来看

射线方程：ray : P(t) = O + D·t ( t >= 0 )
球的方程：sphere : sqr( P-C ) = R·R (sqr(x) = x^2 = x·x)

O=origin, D=direction, C=center, R=radius

射线方程表明的是如下一个点的集合P，当t从零增大时, D·t会沿着D向量的方向从零逐步变长，t 取值无限表示了射线单方向。从O点开始在D方向上无限个点构成了一条射线。
球的方程表明了任何点P，只要到C点的距离等于半径R，则表明点在球面上，这么一个球面上的点的集合。
因此当射线与球相交的时候，这个点既在射线上，又在球面上。等式射线的P(t) = 球的P成立。

联立两个方程，试着求解 t 有：

sqr( O + D·t - C ) = R·R

设 O-C=OC，有：

sqr( OC+D·t ) - R·R = 0//展开得到如下式子=> D·D·t·t + 2·OC·D·t + OC·OC - R·R = 0=> (D·D)·t·t + 2·(OC·D)·t + OC·OC - R·R = 0

因为 D 是单位向量有D·D = dot(D, D) = 1最后方程为：

t·t + 2·(OC·D)·t +  OC·OC - R·R = 0;

这是一个关于 t 的二次方程at^2 + bt + c = 0那么解就已经出来了：

t0 = -(b + √Δ) / 2a
t1 = -(b - √Δ) / 2a
- a = D·D = dot(D, D) = 1;
- b = 2·OC·D = 2·dot(OC, D);
- c = OC·OC - R·R = dot(OC, OC) - R·R;
- 判别式 Δ = sqr(b) - 4ac
  = 4·sqr( OC·D ) - 4·( OC·OC - R·R )
  = 4·( sqr( OC·D ) - OC·OC + R·R );
  如果判别式 Δ > 0，则表明球与射线相交。

根据以上方程，我们其中试着展开 t 的式子
t0 = -(b + √Δ) / 2a = -(b + √Δ) / 2·1
= -b/2 - √(Δ/4)
= -dot(OC, D) - √( sqr( dot(OC, D) ) - dot(OC, OC) + R·R )

求出 t 后可以根据P(t) = O + D * t 得到交点。

附chai3d中的计算代码

inline int cIntersectionSegmentSphere(const cVector3d& a_segmentPointA,                                      const cVector3d& a_segmentPointB,                                      const cVector3d& a_spherePos,                                      const double& a_sphereRadius,                                      cVector3d& a_collisionPoint0,                                      cVector3d& a_collisionNormal0,                                      cVector3d& a_collisionPoint1,                                      cVector3d& a_collisionNormal1){    // temp variables    cVector3d AB, CA;    a_segmentPointB.subr(a_segmentPointA, AB);    a_segmentPointA.subr(a_spherePos, CA);    double radiusSq = a_sphereRadius * a_sphereRadius;    double a = AB.lengthsq();    double b = 2.0 * cDot(AB, CA);    double c = CA.lengthsq() - radiusSq;    // invalid segment    if (a == 0)    {        return (0);    }    double d = b*b - 4*a*c;    // segment ray is located outside of sphere    if (d < 0)    {        return (0);    }    // segment ray intersects sphere    d = sqrt(d);    double e = 2.0 * a;    // compute both solutions    double u0 = (-b + d) / e;    double u1 = (-b - d) / e;    // check if the solutions are located along the segment AB    bool valid_u0 = cContains(u0, 0.0, 1.0);    bool valid_u1 = cContains(u1, 0.0, 1.0);    // two intersection points are located along segment AB    if (valid_u0 && valid_u1)    {        if (u0 > u1) { cSwap(u0, u1); }        // compute point 0        AB.mulr(u0, a_collisionPoint0);        a_collisionPoint0.add(a_segmentPointA);        a_collisionPoint0.subr(a_spherePos, a_collisionNormal0);        a_collisionNormal0.normalize();        // compute point 1        AB.mulr(u1, a_collisionPoint1);        a_collisionPoint1.add(a_segmentPointA);        a_collisionPoint1.subr(a_spherePos, a_collisionNormal1);        a_collisionNormal1.normalize();        return (2);    }    // one intersection point is located along segment AB    else if (valid_u0)    {        // compute point 0        AB.mulr(u0, a_collisionPoint0);        a_collisionPoint0.add(a_segmentPointA);        a_collisionPoint0.subr(a_spherePos, a_collisionNormal0);        a_collisionNormal0.normalize();        // check dot product to see if the intial segment point is located        // inside the sphere.        double dotProduct = cDot(AB, a_collisionNormal0);   //如果射线在球内部与球发生相交，就不能算作相交，保证射线运动的方向性，射线从球体出来时的交点不算作相交点        if (dotProduct < 0.0)        {            return (1);        }        else        {            return (0);        }    }    // one intersection point is located along segment AB    else if (valid_u1)    {        // compute point 0        AB.mulr(u1, a_collisionPoint0);        a_collisionPoint0.add(a_segmentPointA);        a_collisionPoint0.subr(a_spherePos, a_collisionNormal0);        a_collisionNormal0.normalize();        // check dot product to see if the intial segment point is located        // inside the sphere.        double dotProduct = cDot(AB, a_collisionNormal0);        if (dotProduct < 0.0)        {            return (1);        }        else        {            return (0);        }    }    // both points are located outside of the segment AB    else    {        return (0);    }}</span>

文／goteet（简书作者）
原文链接：http://www.jianshu.com/p/1b008ed86627
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