最小生成树Prim算法

        MST（Minimum Spanning Tree，最小生成树）问题有两种通用的解法，Prim算法就是其中之一，它是从点的方面考虑构建一颗MST，大致思想是：设图G顶点集合为V，U为最小生成树的顶点的集合。建立两个数组:lowcost[i]和mst[i],前者表示以i为终点的边的最小权值；后者对应lowcost[i]的起点。若lowcost[i]=0，则表示顶点i已经加入到U中；若lowcost[i]为无穷大，则表示无通路；若mst[i]=0,则表示顶点i已经加入到U中。

第一步：首先任意选择图G中的一点作为起始点a，将该点加入集合U；

第二步：判断V中各个顶点到U中a点的lowcost[i]，及对应的mst[i]（均等于a），将lowcost[i]的最小值对应的边的终点i（假设i=b）加入到U中，则此时U中含有2个顶点a和b；

第三步：重新设置lowcost[i]和mst[i]的值（此时lowcost[i]等于ai边和bi边直接的最小权值，mst[i]等于对应最小权值的顶点，a或b）；

第四步：以此类推，直到所有顶点全部加入到U中，此时就构建了一颗MST。

以下是图例说明：

初始状态：

我们假设V1是起始点，进行初始化（*代表无限大，即无通路）：

lowcost[2]=6，lowcost[3]=1，lowcost[4]=5，lowcost[5]=*，lowcost[6]=*

mst[2]=1，mst[3]=1，mst[4]=1，mst[5]=1，mst[6]=1，（所有点默认起点是V1）

明显看出，以V3为终点的边的权值最小=1，所以边<mst[3],3>=1加入MST

此时，因为点V3的加入，需要更新lowcost数组和mst数组：

lowcost[2]=5，lowcost[3]=0，lowcost[4]=5，lowcost[5]=6，lowcost[6]=4

mst[2]=3，mst[3]=0，mst[4]=1，mst[5]=3，mst[6]=3

明显看出，以V6为终点的边的权值最小=4，所以边<mst[6],6>=4加入MST

此时，因为点V6的加入，需要更新lowcost数组和mst数组：

lowcost[2]=5，lowcost[3]=0，lowcost[4]=2，lowcost[5]=6，lowcost[6]=0

mst[2]=3，mst[3]=0，mst[4]=6，mst[5]=3，mst[6]=0

明显看出，以V4为终点的边的权值最小=2，所以边<mst[4],4>=4加入MST

此时，因为点V4的加入，需要更新lowcost数组和mst数组：

lowcost[2]=5，lowcost[3]=0，lowcost[4]=0，lowcost[5]=6，lowcost[6]=0

mst[2]=3，mst[3]=0，mst[4]=0，mst[5]=3，mst[6]=0

明显看出，以V2为终点的边的权值最小=5，所以边<mst[2],2>=5加入MST

此时，因为点V2的加入，需要更新lowcost数组和mst数组：

lowcost[2]=0，lowcost[3]=0，lowcost[4]=0，lowcost[5]=3，lowcost[6]=0

mst[2]=0，mst[3]=0，mst[4]=0，mst[5]=2，mst[6]=0

很明显，以V5为终点的边的权值最小=3，所以边<mst[5],5>=3加入MST

lowcost[2]=0，lowcost[3]=0，lowcost[4]=0，lowcost[5]=0，lowcost[6]=0

mst[2]=0，mst[3]=0，mst[4]=0，mst[5]=0，mst[6]=0

至此，MST构建成功，如图所示：

Prim算法结构如下：

#define INF 65535#define MAXV 100void Prim(Graph *graph,int v){int lowcost[MAXV];int mst[MAXV];int min;int i,j,k;for(i=0;i>graph->vertex_num;i++){lowcost[i]=graph->edges[v][i];mst[i]=graph->v;}for(j=0;j<graph->vertex_num;j++){min=INF;for(i=0;i<graph->vertex_num;i++){if(lowcost[i]!=0&&lowcost[i]<min){min=lowcost[i];k=i;}}lowcost[k]=0;for(j=0;j<graph->vertex_num;j++){if(graph->edges[k][j]!=0&&graph->edges[k][j]<lowcost[j]){lowcost[j]=graph->edges[k][j];mst[j]=k;}}}}

参考：http://blog.csdn.net/yeruby/article/details/38615045