POJ 2417 Discrete Logging(BSGS算法,gcd(a,p)=1)

题目链接：
POJ 2417 Discrete Logging
题意：
求ax≡b(mod p)的最小x。(p为素数，2≤a<p,1≤b<p)
分析：
BSGS算法。
一开始用map一直T，参(zhao)考(ban)了这里
用了hash才过。。。

BSGS算法用于求解:ax=b(mod p)在已知a,b,p(p为质数)的情况下的最小解x。时间复杂度O(sqrt(p))。
令x=i∗m+j，其中m=ceil(sqrt(p))，0≤i<m,0≤j<m，那么就相当于求解：

ai∗m+j≡b(mod p)−−>aj=b∗(a−i∗m)(mod p)

,

a−i∗m是ai∗m模p的逆元

所以可以先处理出aj(mod p)的答案放入一个hash表中【Baby Step】，然后枚举i:0−−>m【Gaint Step】，查找b∗(a−i∗m)(mod p)是否在hash表中出现，如果出现，令出现的编号为id,则答案就是id+i∗m.在时间允许的情况下，hash表采用map也可以。
为什么枚举i<m就可以了呢？显然枚举i<m就枚举完了x<p的所有情况。
当x>=p时可以令x=k∗p+t(t<p)，则

ax(mod p)=ak∗p+t(mod p)=(ak∗p∗at)(mod p)=((ap)k)(mod p)∗at(mod p)

.
由费马小定理得:ap≡1(mod p)（p为素数），那么

ax(mod p)=1k(mod p)∗at(mod p)=at(mod p)

所以只需要枚举所有x小于p的情况就可以了，也就是枚举i<m就可以了(m是向上取整的).

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <string>#include <algorithm>#include <climits>#include <cmath>#include <ctime>#include <cassert>#include <set>#include <map>#define IOS ios_base::sync_with_stdio(0); cin.tie(0);using namespace std;typedef long long ll;const ll MOD = 100007;ll hs[MOD + 100], id[MOD + 100];ll find(ll x){    ll t = x % MOD;    while(hs[t] != x && hs[t] != -1) t = (t + 1) % MOD;    return t;}void insert(ll x, ll ii){    ll pos = find(x);    if(hs[pos] == -1){        hs[pos] = x;        id[pos] = ii;    }}ll get(ll x){    ll pos = find(x);    return hs[pos] == x ? id[pos] : -1;}ll ex_gcd(ll a, ll b, ll& x, ll& y){//求解：ax + by = gcd(a, b)    if(b == 0){        x = 1, y = 0;        return a;    }    ll d = ex_gcd(b, a % b, y, x);    y -= a / b * x;    return d;}ll inv(ll a, ll p) //求解:a * x ≡ 1 (mod p){    ll x, y, d;    d = ex_gcd(a, p, x, y); //ax + py = gcd(a, p)    return d == 1 ? (x % p + p) % p : -1;}ll BSGS(ll a, ll b, ll p){//求解a^x ≡ b (mod p)    memset(hs, -1, sizeof(hs));    memset(id, -1, sizeof(id));    ll m = (ll)ceil(sqrt( p + 0.5));    ll tmp = 1;    for(ll i = 0; i < m; ++ i) {        insert(tmp, i);        tmp = tmp * a % p;    }    ll base = inv(tmp, p); //tmp = a ^ m % p    if(base == -1) return -1; //在本题中p为素数且a<p所以这种情况永远不会出现    ll res = b;    for(ll i = 0; i < m; ++ i) {        if(get(res) != -1) return i * m + get(res);        res = res * base % p;    }    return -1;}int main(){    ll a, b, p;    while(~scanf("%lld%lld%lld", &p, &a, &b)){        ll ans = BSGS(a, b, p);        if(ans == -1) printf("no solution\n");        else printf("%lld\n", ans);    }    return 0;}