二叉树的基本性质及证明

性质1：一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个结点，（i>=1）。

性质2：一棵深度为k的二叉树中，最多具有2^k-1个结点，最少有k个结点。

性质3：对于一棵非空的二叉树，度为0的结点（即叶子结点）总比度为1的结点多一个，即叶子结点数为n0，度为2的结点数为n2，则有n0=n2+1。

证明：如果n0表示度为0（即叶子结点）的结点数，用n1表示度为1的结点数，n2表示度为2的结点数，n表示整个完全二叉树的结点总数，则有n=n0+n1+n2，根据二叉树和树的性质，可知n=n1+2xn2+1（所有结点的度数之和加1等于结点总数），根据两个等式可知n0+n1+n2=n1+2xn2+1，即n2=n0-1，也即n0=n2+1。

性质4：具有n个结点的完全二叉树深度为(log2(n))+1。

证明：根据性质2，深度为k的二叉树，最多有2^k-1个结点，且完全二叉树的定义是与同深度的满二叉树前边的编号相同，即它们的结点总数n位于k层和k-1层的满二叉树容量之间，即2^(k-1)-1< n <=2^k-1之间，或2^(k-1) <= n <2^k，两边同时取对数得，k-1<=log2(n)<k，又因层数为整数，故log2(n)=k-1，即k=log2(n)+1。

性质5：对具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下和从左至右的顺序对二叉树的所有结点从1开始编号，则对于任意的序号为i的结点有：

如果i>1，那么序号为i的结点的双亲结点序号为i/2；

如果i=1，那么序号为i的结点为根节点，无双亲结点；

如果2i<=n，那么序号为i的结点的左孩子结点序号为2i；

如果2i>n，那么序号为i的结点无左孩子；

如果2i+1<=n，那么序号为i的结点右孩子序号为2i+1；

如果2i+1>n，那么序号为i的结点无右孩子。