问题的广度与深度

广度与深度，实际上是思考问题的两个视角。

我们在思考问题时，经常使用分治法，将一个复杂的问题分解为几个子问题，以图将问题化简。

对于子问题们的性质，我们可以这样思考。虽然不能说它们在任何问题下都是性质相近的，但是在某些情况下却是相近的。我们可以从广度与深度这两个视角来看。

当子问题在广度上呈现性质相近时，我们就以此为依据将它们进行划分，于是原问题的规模可以化为原来的1/n。当子问题们在其各自的广度的深度方向上呈现相同的递归性质时，我们以此为依据将它们递归处理，于是这些子问题的规模将进一步缩小。

我们知道分层的思想是在软件工程领域，甚至可以说是在计算机领域广泛存在的，在算法层面更是如此。只有掌握了这些精髓，才能成为一个真正有所建树的人。

差点忘了说，上面讲到了怎样分解，将大化小，将一化多，将繁化简，竟忘了谈组合，分解过后必然要面临组合的问题，将从子问题们得到的结果合成一个整体，这样才能得到最终想要的结果，否则之前做的一切都将失去意义。

广而分之，深而分之，广而合之，深而何之。如此往复。

至于这些对人生有何启示，似乎已经是哲学上的范畴了。这里就不谈了。

补：最近考虑了不少问题，发觉有时候想问题太想靠个人发挥了，我说的是算法问题。虽然书上有一些知识可供参考借鉴，当然也有不少例子，但是一开始对它们的理解还是很肤浅的。一旦遇到新问题，总想先用自己的方法解决，当然这些方法都不是已经成为体系的，经过长时间检验的，只不过是根据题目的描述，以及自己对它的思考所尝试的一种方式而已。有时候因为问题很复杂，所以一时半会儿只能看清一点，于是顺着这往下做，结果遇到越来越多的问题，发现想解决这个，就得修补这一部分的bug，然后继续往下，结果bug越来越多，最终陷入一个泥淖中，不能自拔。付出的时间成本无法收回，只留下遗憾与痛苦，最后只好总结教训，去参考别人的经验以及重新审视书上的内容。

有时候发觉递归与循环根本很难一起使用，有时候发觉自己原先的思路存在重大漏洞，而且难以挽回，有时候发觉递归根本无法描述清楚问题，有时候……

经验，教训，这些究竟要等到什么时候才够用，似乎永远也不够用……

为什么无法在一开始就能预见到所有潜在的风险？这么多年来，一直都是这样。探索，碰壁，起来，再找其他路，再碰壁……似乎永远如此。

我知道，有些事情，只有亲身经历过，才能留下深刻印象，但是，这个代价太大了，时间，生命，一去不复返……前人的经验，前人的教训，前人的覆辙……

收藏于 2009-10-26