【慢速学数据结构】查找树篇

二叉查找树

介绍

二叉查找树（排序二叉树），是一种支持快速查找、插入、删除的数据结构。

它的特点是，每个结点必须大于它的左子树的所有结点，小于右子树的所有结点。通常，结点里携带的是一个记录，而不是一个单独的值(如上图)，在比较的时候，用记录的关键字来比较的。

二叉搜索树最主要的优点，是和它对应的排序算法和搜索算法，比如用中序遍历，效率高，而且容易实现。

二叉搜索树通常作为其他高级数据结构的底层容器。比如set,multiset,associative array。

不过也有缺点。

• 多次随机的插入，删除后，树的高度变得不平衡
• 如果关键字比较长，那会花太多时间在于比较上。因为几乎每个操纵都要比较很多次。

实现

1. 删除操作。这里有三种情况需要考虑。(假设找到的结点为N)

   • N没有孩子结点。直接删除。
   • N只有一个孩子结点。删除N，并用它的孩子结点代替它。
   • N有两个孩子结点。先不去删除N，而是找到N的下一个中序遍历结点，或者上一个中序遍历结点，什么意思？我们知道，BST的左子树所有的结点都比根节点小，最接近根节点的节点(即左子树中最大的节点)是哪个呢？当然是左子树中最右的结点，也就是根节点中序遍历下的上一个节点。同理，右子树最小的节点就是根节点中序遍历的下一个节点。（下图6就是7的in-order predecessor，9是7的in-order successor）
     

   void remove(const T& x, NodeRef& root){    if (root == nullptr)        return;    if (x == root->val)    {        // no children        if (root->left == nullptr && root->right == nullptr)            deleteNode(root);        // two children        else if (root->left != nullptr && root->right != nullptr)        {            // find p's in-order predecessor            NodeRef predecessor = findMax(root->left);            root->val = predecessor->val;            root = predecessor;            remove(root->val, root);        }        // one child        else        {            if (root->left == nullptr)            {                NodeRef t = root;                root = root->right;                deleteNode(t);            }            else            {                NodeRef t = root;                root = root->left;                deleteNode(t);            }        }    }

2. 插入操作。思路就是不断比较key，然后找到空节点。

   NodeRef insert(const T& x, NodeRef& root){    if (size_ == 0)    {        size_++;        root->val = x;        return root;    }    if (root == nullptr)    {        size_++;        root = newNode(x);        return root;    }    if (x < root->val)        return insert(x, root->left);    else if (x >= root->val)        return insert(x, root->right);}

AVL树

介绍

AVL树由两个苏联人，G. M. Adelson-Velskii , E. M. Landis 在1962年提出，他们是第一个提出平衡二叉搜索树概念的。这东西伟大在哪？AVL树能使树的高度保持平衡，从而把原先二叉搜索树操作的的最坏时间从O(N)降低到了O(logN)。

它其实是基于二叉搜索树之上实现的，只不过加了些功能来保证树的平衡。下面来看看，具体有哪些功能。

实现

首先，我们对树的节点引入了高度值。这里高度用一个字节来存储是为了节省空间。

    struct TreeNode    {        NodePtr left;        NodePtr right;        unsigned char height; // can save space when meet large amount of nodes        T val;        TreeNode(const T& x) : val(x) , height(1) {}    };

我们还需要一些辅助函数。（因为会频繁调用，所以让它们的时间复杂度都是O(1)吧）

    // helper functions    unsigned char getHeight(NodePtr &p) {        return p?p->height : 0;    }    int getFactor(NodePtr &p) {        return getHeight(p->right) - getHeight(p->left);    }    void fixHeight(NodePtr &p) {        unsigned char hl = getHeight(p->left);        unsigned char hr = getHeight(p->right);        p->height = (hl > hr ? hl : hr) + 1;    }

接下来是关键算法，单旋转。图左通过右旋就能得到图右，反之同理。好，现在观察图左，你只要想象用手拎着q结点，往上一拉，然后再把q的右子树B挂到p的左边就完成了一次右旋。

双旋转。其实就是按照不同的情况，应用两次单旋。观察下图，就是先对q来一次右旋，然后对p来一次左旋。这是特例，其他的情况该怎么分析，是要根据它们的平衡因子来看的。

用代码来解释就是这样。

    NodePtr balance(NodePtr &p) {        fixHeight(p);        if( getFactor(p) == 2)         {            if( getFactor(p->right) < 0)                p->right = rotateRight(p->right);            return rotateLeft(p);        }        if( getFactor(p) == -2)         {            if( getFactor(p->left) > 0)                p->left = rotateLeft(p->left);            return rotateRight(p);        }        // if no balance need, return itself        return p;    }

注意事项，因为所有对树的修改操作，都可能引起高度变化，所以对于这些类型的操作，我们都需要返回新的树的节点。这和普通的二叉搜索树是不一样的。

所以插入函数就变成了这样。思路还是和上一篇的BST版本一样。

    NodePtr insert(const T& x, NodePtr& root)    {        if (size_ == 0)        {            size_++;            root->val = x;            return root;        }        if (root == nullptr)        {            size_++;            root = newNode(x);            return root;        }        if (x < root->val)        {            root->left = insert(x, root->left);// 因为重新修改了节点，所以需要更新            return balance(root);// 它修改的        }        else if (x >= root->val)        {            root->right = insert(x, root->right);            return balance(root);        }    }

删除函数。

    NodePtr remove(const T& x, NodePtr& root)    {        if (root == nullptr)            return nullptr;        if (x < root->val)            root->left = remove(x, root->left);        else if (x > root->val)            root->right = remove(x, root->right);        else // x == root->val        {            NodePtr l = root->left;            NodePtr r = root->right;            if( !l && !r)   return nullptr;            if(!l && r) return r;            if(l && !r) return l;            NodePtr min = findMin(r);            root->val = min->val;            root->right = removeMin(root->right);        }        return balance(root);    }

效果

为了检验实际效果和理论效果的差别，实验通过随机产生1000个数插入到树中，记录树的高度变化，然后综合多组数据画图。（纵坐标是树的高度，横坐标是节点数；红线是平均高度，绿线是最小高度，蓝线是最大高度，两条边界线代表上界和下界）

红黑树

介绍

花的时间太长了，目前只实现了RB树的插入操作，删除操作要考虑的case有点多，比较难，建议时间充裕的时候再去折腾。

推荐July的rbtree系列文章。
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/article/details/6124989
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/article/details/6114226

实现

可以看看这个人的代码
https://github.com/peterwilliams97/strings/blob/master/cst/rbtree.cpp

应用

stl里map，set的底层容器就是红黑树。顺便说一下，map和hash_map的区别就在于底层实现，后者需要hash函数，前者只需要定义一个key的比较器就行了。不过它们用起来还是差不多的。

参考资料

http://kukuruku.co/hub/cpp/avl-trees
https://en.wikipedia.org/wiki/AVL_tree