HDU 4701 GAME

正推：

很有意思，很好的一个题目。

题目的意思是两个人初始状态分别有A和B元，现在有N件可买的商品。两人轮流买，商品必须从左到右买过去，一次可以买若干个。第一个无法买到商品的人输。

一看就知道是博弈题目，但是这并不是什么模型式的博弈题目，其实是转化成递推来做的。

其实这个问题应该是这样来考虑的。

首先告诉了你两个人初始的钱数，那么总共的钱数是确定。在买完若干件商品后，一部分的钱数已经花在了买商品上面（先不管是谁买的），另一部分的钱还分别留在两个人的手中。这样如果我们知道当前买完了某件商品后其中一个人的剩余的钱数，那么我们可以根据总钱数不变来推出另一个人手中的钱数。

同时，如果在买某一件商品开始是，ALICE手中只要有x元就有了必胜的策略，那么他手中的钱数如果大于x，显然就也是必胜咯。

有了这两点，我们可以来个递推，解决这个问题。

状态f[i]表示在买第i件商品前，只要先手的人的钱数不少于f[i],那么他就有必胜的策略。

什么意思呢？

我们首先看看，A+B即总钱数，最多能买到多少件商品，显然后面的商品都是没有用的。

然后，对于可买的最后的那件商品n,f[n]=a[n]; 因为根据总钱数，只要他能够买掉最后一件商品，下一个人一定无钱购买后面的商品。

接下来就是从i递推到i-1了。

首先从i-1到i可能有两种情况：

一、第i-1个商品和第i个商品是同一个人购买，这说明要是在购买i-1个商品的时候就有必胜的策略，那么此时他手里的钱数必须不小于a[i-1]+f[i]（买完第i-1个商品后，必须至少还剩下f[i]的钱）。

二、第i-1个商品和第i个商品不是同一个人购买，这说明前一个人在购买了i-1个商品后，留下了一个必败态给下一个人去购买第i个商品，这里我们知道对于第i个商品，其必败态就是钱数不足f[i]。这样根据总价值的关系就可以推出这种情况下的f[i-1]了。

综合上面的两种情况，我们知道f[i]就是两种情况中的最小值。

这样逐一递推，到达求出f[1]，显然我们只要把f[1]和A比较大小，就可以得出谁胜谁负了。

题目很有意思，以前没做过这种类型的题目。赞一个。

逆推：

思路：Alice和Bob得金币总和为all，然后找到第一个前缀和大于all的数，这个位置是不可能到达的点。

           eg：alice有10金币，bob有10金币，则all=20金币，共有5个商品5,6,7,8,9。这样的话第四个点8是不可能到达的，因为到那里需要26金币。

           所以找到这个点之后我们要从他前面这个点开始往前递推，可以通过dp，dp[i]就表示到达i这个点时必胜需要多少个金币

           还是这个样例eg：alice有10金币，bob有10金币，则all=20金币，共有5个商品5,6,7,8,9。

           从第三个位置开始，显然dp[3]=7，因为只要能买得起这个商品，就是必胜，第四个点时无法到达的。

           对于第二个位置，要获得必胜，有两种决策:   

                                                  决策1：直接到达后继的必胜态。即dp[2]=6+dp[3]=13;

                                                  决策2：留给对手一个必败态，即对手下一次最多只能有（dp[3]-1）=6个金币,当前有all-5=15个金币，则dp[2]=15-6=9；

                                                  两者取较小值，即dp[2]=9;

          对于第一个位置，同样的，有两种决策：

                                                  决策1：直接到达后继的必胜态。即dp[1]=5+dp[2]=14;

                                                  决策2：留给对手一个必败态，即对手下一次最多只能有（dp[2]-1）=8个金币,当前有all=20个金币，则dp[1]=20-8=12；

                                                 取较小值,dp[1]=12;

         得到了dp[1]后,只需要比较dp[1]和Alice的金币大小即可，alice的金币>=dp[1]时,alice必胜，否则必败。ect：这里10<dp[1],所以alice必败。