解决复杂问题的思路（二）

解决复杂问题的思路

• 分类讨论（不失一般性的设，其实是避免了分类讨论）；问题简化（规模，分类情况）

1. 学会转化

卡文迪许扭秤实验，解决问题的思路是，将不易观察的微小变化量，（多次放大）转化为容易观察的显著变化量，再根据显著变化量与微小量的关系算出微小的变化量 。

• 一张 100 块人民币的厚度 ⇒ 一沓钱的厚度
• 一张纸的厚度 ⇒ 对叠多次的厚度

2. 从简单问题出发

已知 ai≥0(i=1,2,…,n)，且 ∑niai=1，求证：

1≤∑i=1nai−−√≤n√

从简单问题出发，来看为两项时候的处理方法：1≤a1−−√+a2−−√≤2√，不等式两边同时平方，1≤a1+a2+2a1a2−−−−√≤2 ⇒ 0≤2a1a2−−−−√≤2−1=a1+a2，是显然成立的。

所以对于，1≤∑ni=1ai−−√≤n√，两边同时平方得：

1≤∑iai+2∑1≤i<j≤naiaj−−−−√≤n

也即只需证明，0≤2∑1≤i<j≤naiaj−−−−√≤n−1，又有，2aiaj−−−−√≤ai+aj，所以有，

2∑1≤i<j≤naiaj−−−−√≤(n−1)(a1+a2+…+an)=n−1

3. 从特例和极端出发

不失一般性的，先考虑特殊情况，而不是复杂的，具有较多情况的。