完全背包问题
来源:互联网 发布:无主之地2mac存档 编辑:程序博客网 时间:2024/05/18 01:10
这个经典问题的大致意思是:
有n种物品重量和价值分别为w[i]、v[i]的物品,从这些物品中挑选出总重量不超过W的物品,求出挑选物品价值总和的最大值。每种物品可以挑选任意多件。
利用二维数组dp,其中dp[i+1][j]表示从前i+1种物品(编号从0到i)中挑选出总重量不超过j的物品的价值总和的最大值。显然有
dp[0][j]=0;
dp[i+1][j]=max(dp[i][j-k*w[i]]+k*v[i])(k>=0);
按照上述递推式可以写出如下代码:
int n,W;int w[105];int v[105];int dp[105][10005];//从第i个物品开始挑选总重不超过j的物品,注意物品的编号是从0到n-1void solve(){ for(int i=0;i<n;i++){ for(int j=0;j<=W;j++){ for(int k=0;k*w[i]<=j;k++){ dp[i+1][j]=max(dp[i+1][j],dp[i][j-k*w[i]]+k*v[i]); } } } cout<<dp[n][W]<<endl;}
这个算法构成了三重循环,最坏情况下k可能从0到W,因此时间复杂度最坏情况下为O(nW^2)。这个算法的时间效率并不好,因为有好多重复计算的。可以进行一定优化:
dp[i+1][j]=max(dp[i][j-k*w[i]]+k*v[i])(k>=0) =max(dp[i][j],max(dp[i][j-k*w[i]]+k*v[i]))(k>=1) =max(dp[i][j],max(dp[i][j-k*w[i]-w[i]]+k*v[i])+v[i])(k>=0) =max(dp[i][j],dp[i+1][j-w[i]]+v[i])上述代码可以改进为:
int n,W;int w[105];int v[105];int dp[105][10005];//从第i个物品开始挑选总重不超过j的物品,注意物品的编号是从0到n-1void solve(){ for(int i=0;i<n;i++){ for(int j=0;j<=W;j++){ if(j<w[i]) dp[i+1][j]=dp[i][j]; else dp[i+1][j]=max(dp[i][j],dp[i+1][j-w[i]]+v[i]); } } cout<<dp[n][W]<<endl;}和01背包问题一样,也可以采用一个数组实现
void solve(){for(int i=0;i<n;i++){for(int j=w[i];j<=W;j++)dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);}cout<<dp[n][W]<<endl;}
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