十进制浮点数的二进制转换及存储

网上看到一道小题：

int main(void) 
{
float a = 10.0;

double b = 10.0;

printf( "%d\n", a );

printf( "%d\n", b );

return 0;

}

输出结果a,b均为0。

这道小题是一个很好的面试题，考查面试者对浮点数存储的理解。

十进制小数的二进制表示：

整数部分：除以2，取出余数，商继续除以2，直到得到0为止，将取出的余数逆序

小数部分：乘以2，然后取出整数部分，将剩下的小数部分继续乘以2，然后再取整数部分，一直取到小数部分为零为止。如果永远不为零，则按要求保留足够位数的小数，最后一位做0舍1入。将取出的整数顺序排列。

举例：22.8125 转二进制的计算过程：

整数部分：除以2，商继续除以2，得到0为止，将余数逆序排列。
22 / 2  11 余0
11/2     5  余 1
5  /2      2  余 1
2  /2      1  余 0
1  /2      0  余 1
得到22的二进制是10110

小数部分：乘以2，取整，小数部分继续乘以2，取整，得到小数部分0为止，将整数顺序排列。
0.8125x2=1.625 取整1,小数部分是0.625
0.625x2=1.25 取整1,小数部分是0.25
0.25x2=0.5 取整0,小数部分是0.5
0.5x2=1.0 取整1,小数部分是0，

得到0.8125的二进制是0.1101

结果：十进制22.8125等于二进制00010110.1101

浮点数的计算机存储：

IEEE 754标准中所定义的单精度32位浮点数和双精度64位浮点数的格式:

32位单精度

单精度二进制小数，使用32位存储。

1 8 23 位长

+-+--------+-----------------------+

|S| Exp | Fraction |

+-+--------+-----------------------+

31 30 23 22 0 位编号 (从右边开始为0)

偏正值 +127

64位双精度

双精度二进制小数，使用64位存储。

1 11 52 位长

+-+--------+-----------------------+

|S| Exp | Fraction |

+-+--------+-----------------------+

63 62 52 51 0 位编号 (从右边开始为0)

偏正值 +1023

单精度的E为指数值+127，双精度的E为指数值+1023，IEEE标准要求浮点数必须是规范的，也就是说尾数的小数点左侧必须为1，因此在保存尾数时可以省略小数点左侧的1，这样实际上对于float类型我们是用了23bits表示了24bits尾数。

以32位单精度浮点数为例：

十进制22.8125转换为二进制表示为00010110.1101，

00010110.1101 = 1.01101101 * 2^4

由此得出 符号位S为0，表示正数

指数位E为4+127=131D=10000011B

尾数F为1.01101101去掉小数点左侧的1，即为01101101

这样十进制22.8125转换为二进制表示为00010110.1101，计算机存储为01000001101101101000000000000000

0 1000001101101101000000000000000

1bit 8bits 23bits
 S  E  F
符号位 指数位尾数位

回头再看最开始的小题，就容易多了。

10.0的二进制表示为1010.0= 1.010*2^3

float类型的10.0：

符号位S为0

指数E为3+127=130=10000010

尾数F为010

double类型的10.0：

符号位S为0

指数E为3+1023=1026=10000000010

尾数F为010

最终结果：

float类型的10.0转换为二进制为1010.0存储形式为01000001001000000000000000000000，16进制表示为0x41200000

double类型的10.0转换为二进制为1010.0存储形式为0100000000100100后面用0补全，16进制表示为0x40240000

代码验证一下：

int main(void) 
{
    float a = 10.0;
    double b = 10.0;
    int * pa = (int *)&a;
    int * pb = (int *)&b;


    printf( "%d\n", a );
    printf( "%x\n", *pa );
    printf( "%x\n", *(pb+1) );
    
return 0;
}

输出结果：

$ ./a.out
0
41200000
40240000

IEEE 754 单精度浮点数转换，在线计算http://www.styb.cn/cms/ieee_754.php