五大常用算法之四:回溯法
来源:互联网 发布:礼物淘宝知乎 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 20:21
五大常用算法之四:回溯法
1、概念
回溯算法实际上一个类似枚举的搜索尝试过程,主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解,当发现已不满足求解条件时,就“回溯”返回,尝试别的路径。
回溯法是一种选优搜索法,按选优条件向前搜索,以达到目标。但当探索到某一步时,发现原先选择并不优或达不到目标,就退回一步重新选择,这种走不通就退回再走的技术为回溯法,而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。
许多复杂的,规模较大的问题都可以使用回溯法,有“通用解题方法”的美称。
2、基本思想
在包含问题的所有解的解空间树中,按照深度优先搜索的策略,从根结点出发深度探索解空间树。当探索到某一结点时,要先判断该结点是否包含问题的解,如果包含,就从该结点出发继续探索下去,如果该结点不包含问题的解,则逐层向其祖先结点回溯。(其实回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法)。
若用回溯法求问题的所有解时,要回溯到根,且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束。
而若使用回溯法求任一个解时,只要搜索到问题的一个解就可以结束。
3、用回溯法解题的一般步骤:
(1)针对所给问题,确定问题的解空间:
首先应明确定义问题的解空间,问题的解空间应至少包含问题的一个(最优)解。
(2)确定结点的扩展搜索规则
(3)以深度优先方式搜索解空间,并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。
4、算法框架
(1)问题框架
设问题的解是一个n维向量(a1,a2,………,an),约束条件是ai(i=1,2,3,…..,n)之间满足某种条件,记为f(ai)。
(2)非递归回溯框架
1: int a[n],i;
2: 初始化数组a[];
3: i = 1;
4: while (i>0(有路可走) and (未达到目标)) // 还未回溯到头
5: {
6: if(i > n) // 搜索到叶结点
7: {
8: 搜索到一个解,输出;
9: }
10: else // 处理第i个元素
11: {
12: a[i]第一个可能的值;
13: while(a[i]在不满足约束条件且在搜索空间内)
14: {
15: a[i]下一个可能的值;
16: }
17: if(a[i]在搜索空间内)
18: {
19: 标识占用的资源;
20: i = i+1; // 扩展下一个结点
21: }
22: else
23: {
24: 清理所占的状态空间; // 回溯
25: i = i –1;
26: }
27: }
(3)递归的算法框架
回溯法是对解空间的深度优先搜索,在一般情况下使用递归函数来实现回溯法比较简单,其中i为搜索的深度,框架如下:
int a[n];
2: try(int i)
3: {
4: if(i>n)
5: 输出结果;
6: else
7: {
8: for(j = 下界; j <= 上界; j=j+1) // 枚举i所有可能的路径
9: {
10: if(fun(j)) // 满足限界函数和约束条件
11: {
12: a[i] = j;
13: ... // 其他操作
14: try(i+1);
15: 回溯前的清理工作(如a[i]置空值等);
16: }
17: }
18: }
19: }
回溯法有“通用解题法”之称。用它可以系统地搜索问题的所有解。回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的搜索算法。
在包含问题的所有解的解空间树中,按照深度优先搜索的策略,从根结点出发深度探索解空间树。当探索到某一结点时,要先判断该结点是否包含问题的解,如果包含,就从该结点出发继续探索下去,如果该结点不包含问题的解,则逐层向其祖先结点回溯。(其实回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法)。若用回溯法求问题的所有解时,要回溯到根,且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束。 而若使用回溯法求任一个解时,只要搜索到问题的一个解就可以结束。
1.回溯法的解题步骤
(1)针对所给问题,定义问题的解空间;
(2)确定易于搜索的解空间结构;
(3)以深度优先方式搜索解空间,并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。
2.子集树与排列树
下面的两棵解空间树是回溯法解题时常遇到的两类典型的解空间树。
(1)当所给问题是从n个元素的集合S中找出S满足某种性质的子集时,相应的解空间树称为子集树。例如从n个物品的0-1背包问题(如下图)所相应的解空间树是一棵子集树,这类子集树通常有2^n个叶结点,其结点总个数为2^(n+1)-1。遍历子集树的算法需Ω(2^n)计算时间。
(2)当所给问题是确定n个元素满足某种性质的排列时,相应的解空间树称为排列树。例如旅行售货员问题(如下图)的解空间树是一棵排列树,这类排列树通常有n!个叶结点。遍历子集树的算法需Ω(n!)计算时间。
用回溯法搜索子集树的一般算法可描述为:
用回溯法搜索排列树的一般算法可描述为:3.回溯法的应用例子
(a)子集树
(为了便于描述算法,下列方法使用了较多的全局变量)
I.输出集合S中所有的子集,即limit为all;
II.输出集合S中限定元素数量的子集,即limit为num;
III.输出集合S中元素奇偶性相同的子集,即limit为sp。
(b) 排列树
(为了便于描述算法,下列方法使用了较多的全局变量)
I.输出集合S中所有的排列,即limit为all;
II.输出集合S中元素奇偶性相间的排列,即limit为sp。
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