红黑树知识点小结

参考资料

1. @v_JULY_v. “25.Red-black tree(7)”.
2. @wikipedia. “Red–black tree”.

使用符号和术语：

N：当前操作的结点
P：当前结点N的父结点
U：当前结点N的叔结点
G：当前结点N的祖父结点，即父结点的父结点
left：当前结点是父结点的左孩子
right：当前结点是父结点的右孩子
A<-B：将B赋值到A

修复(restructure/rebalance)： 指通过旋转和结点变色，使插入或删除结点后的红黑树重新满足基本的5个约束，修复算法只与位置和颜色相关而与结点键值大小无关

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平衡树的旋转

左旋

旋转链的变化形似： \ -> /

右旋

旋转链的变化形似： / -> \

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红黑树基本约束5点

1. 结点非红即黑
2. 根结点必为黑色
3. 叶结点NIL必为黑色
4. 红色结点的子结点必为黑色(黑色结点的子节点可红可黑)
5. 任一结点到其所在分支的各叶结点，每条路径上的黑色结点数目相等

红黑树插入

注：该插入算法参考@v_JULY_v的博客,相对wiki较为简洁

概要和约束

1. 基本插入同AVL树相似，AVL树的修复操作是旋转，但红黑树需要旋转配合变色
2. 新插入的结点必为红色
3. 插入的结点作为根结点时，直接变为黑色
4. 插入结点作为在黑色结点的子结点时，无须额外的修复操作

插入修复

情况：

1. N的P是红色，U是红色
2. N的P是红色，U是黑色，P和N不同是right或不同是left
3. N的P是红色，U是黑色，P和N同是right或同是left

插入修复算法要点：

• 对 1： P变黑色，U变黑色，G变红色，N<-G，再次判断情况进行修复

• 对 2：若P是left，则以N和P为链,左旋，旋转后，N <- N的left(即原本的P)，进入情况3；
  若P是right，则以N和P为链,右旋，旋转后，N <- N的right(即原本的P)，进入情况3

• 对 3：P变黑色，G变红色，以P和G为链，若P是left则右旋，否则左旋

图示

注：N为`left`和N为`right`的情况均已画出

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红黑树删除

注：该删除算法参考@Wikipedia,因为觉得v_July_v写的有点模糊

概要和约束

1.删除修复时新增的符号：

D：最初需要被删除的结点
M：替换用的结点（是D的 左子最右结点 或 右子最左结点）
C：M的子节点，若M无子节点，C为任意一个叶子子节点；若M有1个子节点，则C为该非叶子的子节点

2.在AVL数中，删除分三种情况，记被删除的结点为 D 的话：

• 1) D无子节点；
• 2) D有1个子节点；

• 3) D有2个子节点；

  分别对应三种重新平衡操作：

• 1）用NULL替换；
• 2）用其唯一的子节点直接替换；
• 3）用D左子的最右结点替换

在红黑树中，有子节点特指有非叶子结点，即非空节点

3.出于效率考虑1，第3种情况时，实际上并没有删除D，而是用D左子的最右结点的数据覆盖D的数据，真正被删除的是D左子的最右结点（不会有右子），这样就简化成一个删除无子节点或只有1个子节点的问题2

删除操作的实质：M的数据覆盖D的数据，删除M，M的位置由C补上，因此D的颜色没有改变

删除修复

注：阅读以下内容前务必阅读 #概要

情况：

将C标记为N，以下均以N为left讨论

• M是红色，直接用N补上，结束删除操作

• M是黑色，用N补上后，分以下6种情况：

  1. N是红色
  2. N是黑色且是根节点
  3. N是黑色,S是红色,P是黑色,
  4. N是黑色,S是黑色,S两子节点均为黑色
  5. N是黑色,S是黑色,S右子是黑色,左子是红色
  6. N是黑色,S是黑色,S右子是红色,左子颜色任意

删除修复算法要点：

• 对1：把N染成黑色,直接结束
• 对2：直接结束
• 对3：P变红色,S变黑色,把问题转化为S是黑色的情况,重新进入算法
• 对4：S变红色,重新进入算法
• 对5：S变红色,S左子变黑色,以S和S左子为链,右旋,把问题转化为情况4,重新进入算法
• 对6：令S的颜色变为P的颜色,P变黑色,S右子变黑色,以P和S为链,左旋,算法结束

图示

注：下图只画出了N为`left`的情况，N为`right`的情况参见wiki的代码

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补充

• 叶结点为NIL，不含数据，仅标记结束
• 红黑树并不完全平衡，其确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍，因而是接近平衡的

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/*
author: lyuavery
date: 07-22-1016
*/

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1. “Because merely copying a value does not violate any red–black properties, this reduces to the problem of deleting a node with at most one non-leaf child.”
   – – wikipedia ↩
2. “Once we have solved that problem, the solution applies equally to the case where the node we originally want to delete has at most one non-leaf child as to the case just considered where it has two non-leaf children.”
   – – wikipedia ↩