300. Longest Increasing Subsequence最长递增子序列

Given an unsorted array of integers, find the length of longest increasing subsequence.

For example,

Given [10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18],
The longest increasing subsequence is [2, 3, 7, 101], therefore the length is4. Note that there may be more than one LIS combination, it is only necessary for you to return the length.

Your algorithm should run in O(n²) complexity.

Follow up: Could you improve it to O(n log n) time complexity?

给定未排序整数数组，找出其中最长的递增子序列的长度。

注意其中最长递增子序列LIS可能不唯一，你只需返回其长度。

进阶：在O(nlogn)时间完成算法。

思路

O(n^2)的方法：

很容易想出，从首元素开始，依次扫描后续元素，记录LIS长度，然后以第二个元素为首元素，以此类推。

O(nlogn)的方法：

假设存在一个序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7，可以看出来它的LIS长度为5。

下面一步一步试着找出它。

我们定义一个序列B[1..9]，第i位的元素B[i]表示以B[i]为结尾的LIS长度为i，然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列，同时用变量Len来记录现在最长算到多少了。

首先，把d[1]有序地放到B里，令B[1] = 2，就是说当只有1一个数字2的时候，长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1

然后，把d[2]有序地放到B里，令B[1] = 1，就是说长度为1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已经没用了，这时Len=1

接着，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是说长度为2的LIS的最小末尾是5，这时候B[1..2] = 1, 5，Len＝2

再来，d[4] = 3，它正好加在1,5之间，放在1的位置显然不合适，因为1小于3，长度为1的LIS最小末尾应该是1，这样很容易推知，长度为2的LIS最小末尾是3，于是可以把5淘汰掉，这时候B[1..2] = 1, 3，Len = 2

继续，d[5] = 6，它在3后面，因为B[2] = 3, 而6在3后面，于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6，Len = 3 。

第6个, d[6] = 4，它在3和6之间，于是就可以把6替换掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4， Len=3

第7个, d[7] = 8，比4大，于是B[4] = 8。Len变成4

第8个, d[8] = 9，得到B[5] = 9，Len继续增大，到5。

最后一个, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之间，所以我们知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。

于是我们知道了LIS的长度为5。

注意。这个1,3,4,7,9不是LIS，它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾，我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义，但是如果后面再出现两个数字 8 和 9，那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出LIS的长度为6。

然后可以发现：在B中插入数据是有序的，而且是进行替换而不需要挪动——也就是说，我们可以使用二分查找，将每一个数字的插入时间优化到O(logN)，于是算法的时间复杂度就降低到了O(NlogN)

class Solution {

public:

    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {

        vector<int> res;     //存储LIS最小末尾的序列

        for(int i=0; i<nums.size(); i++) {

            //最小末尾序列中寻找比nums[i]大的最小数

            auto iter = std::lower_bound(res.begin(), res.end(), nums[i]);     

            if(iter==res.end()) res.push_back(nums[i]);     //未找到则添加

            else *iter = nums[i];     //找到则替换

        }

        return res.size();

    }

};