朴树贝叶斯法

朴素贝叶斯法是基于贝叶斯定理与特征条件独立假设的分类方法。对于给定的训练数据集，首先基于特征条件独立假设学习输入输出的联合概率分布；然后基于此模型。对给定的输入x，利用贝叶斯定理求出后验概率最大的输出y。

1，朴素贝叶斯法的学习与分类

设输入空间χ是n维向量的集合，输出空间为类标记集合γ={c1,c2,...,cK}.输入特征向量为x，输出为类标记y。X是在输入空间上的随机变量，Y是在输出空间上的随机变量。P(X,Y)是X和Y的联合概率分布，训练数据集

T={(x1,y1),(x2,y2),...,(xN,yN)}

由P(X,Y)独立同分布产生。
朴素贝叶斯通过训练数据集联合概率分布P(X,Y)。具体的，学习以下先验概率及条件概率，先验概率分布

P(Y=ck),k=1,2,...K

条件概率分布

P(X=x|Y=ck)=P(X(1)=x(1),...,X(N)=x(N)|Y=ck),k=1,2,..,K

于是学习到联合概率分布P(X,Y)

朴素贝叶斯法对条件概率分布做了条件独立性的假设。

P(X=x|Y=ck)=P(X(1)=x(1),...,X(N)=x(N)|Y=ck)=∏j=1nP(X(j)=xj|Y=cj)

朴素贝叶斯法分类时，对给定的输入x，通过学习到的模型计算后验概率分布P(Y=ck|X=x),将后验概率最大的类作为x的类输出。后验概率计算根据贝叶斯定理；

P(Y=ck|X=x)=P(X=x|Y=ck)P(Y=ck)∑kP(X=x|Y=ck)P(Y=ck)

由于分母对所有的ck都是相同的，所以

y=argmaxckP(Y=ck)∏jP(X(j)=xj|Y=ck)

2.朴素贝叶斯法的参数估计

（1）极大似然估计

在朴素贝叶斯法中，学习意味着估计P(Y=ck)和P(X(j)=xj|Y=cj).可以用极大似然估计法估计相应的概率，先验概率的极大似然估计为

P(Y=ck)=∑Ni=1I(yi=ck)N,k=1,2,...,N

设第j个特征x^{(j)}可能取值的集合为{aj1,aj2，，ajn},条件概率P(X(j)=ajl|Y=ck)的极大似然估计是

P(X(j)=ajl|Y=ck)=∑Ni=1I(x(j)i=ajl,yi=ck)∑Ni=1I(yi=ck)

式中，x(j)i是第i个样本的第j个特征；ajl是第j个特征可能取得第l个值；I为指示函数。

（2）学习与分类算法

朴素贝叶斯算法
输入：训练数据T={(x1,y1),(x2,y2),...,(xN,yN)}，其中xi=(x(1)i,x(2)i,...,x(n)i)T,x(j)i是第i个样本的第j个特征。
输出：实例x的分类
（1）计算先验概率及条件概率

P(Y=ck)=∑Ni=1I(yi=ck)N,k=1,2,..,K

P(X(j)=ajl|Y=ck)=∑Ni=1I(x(j)i=ajl,yi=ck)∑Ni=1I(yi=ck)j=1,2,..,N;l=1,2,..,Sj;k=1,2,..,K

（2）对于给定的实例x=(x(1),x(2),...,x(n))T，计算

P(Y=ck)∏j=1nP(X(j)=x(j)|Y=ck),k=1,2,...,K

（3）确定实例x的类

y=argmaxckP(Y=ck)∏j=1nP(X(j)=x(j)|Y=ck)

（3）贝叶斯估计

用极大似然估计可能会出现所要估计的概率值为0的估计。这时会影响到后验概率的计算结果，使分类产生误差，解决这些问题的方法是采用贝叶斯估计。
条件概率的贝叶斯估计是

Pγ(X(j)=ajl|Y=ck)=∑Ni=1I(x(j)i=ajl,yi=ck)+γ∑Ni=1I(yi=ck)+Sjγ

式中γ>=0
先验概率的贝叶斯估计为

Pγ(Y=ck)=∑Ni=1I(yi=ck)+γN+Kγ