牛顿法与拟牛顿法
来源:互联网 发布:郑元畅为什么不红 知乎 编辑:程序博客网 时间:2024/05/18 13:45
牛顿法
求函数的根
牛顿法的最初提出是用来求解方程的根的。我们假设点
在该图中我们可以看到
最优化
对于最优化问题,其极值点处有一个特性就是在极值点处函数的一阶导数为0。因此我们可以在一阶导数处利用牛顿法通过迭代的方式来求得最优解,即相当于求一阶导数对应函数的根。
首先,我们对函数在
我们这里讨论的都是在低维度的情形下,那么对于高维函数,其二阶导数就变为了一个海森矩阵,记为
牛顿法求最优值的步骤如下:
1. 随机选取起始点
2. 计算目标函数
3. 依据迭代公式
如果
我们可以看到,当我们的特征特别多的时候,求海森矩阵的逆的运算量是非常大且慢的,这对于在实际应用中是不可忍受的,因此我们想能否用一个矩阵来代替海森矩阵的逆呢,这就是拟牛顿法的基本思路。
拟牛顿法
因为我们要选择一个矩阵来代替海森矩阵的逆,那么我们首先要研究一下海森矩阵需要具有什么样的特征才能保证牛顿法成功的应用。通过上面的描述我们知道
上式我们称之为拟牛顿条件。
因此,对于我们所选择的替代矩阵
- 拟牛顿条件,即
Gk(f′(xk+1)−f′(xk))=xk+1−xk ; - 要保证
Gk 为正定矩阵,这是因为只有正定才能保证牛顿法的搜索方向是向下搜索的
假设
DFP算法
DFP算法中选择
0 1
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