[算法学习笔记]分治法——最大子序列和问题

何为分治法？

在上一篇文章中讲到归并排序就有提到过分治法，这里在重复一次：

分治法

分治法采用了递归的结构，将原问题分成几个规模较小但是类似于原问题的子问题， 通过递归的方式再来求解这些小问题，然后将子问题的解合并来建立原问题的解，分治法在每成递归时都有三个步骤：

• 分解: 将原问题分解成若干个小问题，这些子问题是原问题的规模较小的实例
• 解决: 解决这些子问题，通过递归的方式求解子问题，直到自问题的规模足够小，可以直接求解
• 合并: 将这些子问题的解合并成原问题的解

最大子序列和问题

比如说有一个数组：

4 , -3, 5, -2, -1, -1, 2, 6, -2

对于这样一个数组，它的最大子序列和为11(从第一个元素到第七个)。
对于任意一个栗子，可以发现最大子序列和只有三种情况：

• 出现在数组的左半部分
• 出现在数组的右半部分
• 出现在数组的中间部分，横跨左右两部分

(这不是废话么=_=)
而且对于左半部分或者右半部分，上述结论也成立，利用这特性，可以写出相应的递归，递归结束的条件是当只有一个元素时，判断这个元素是否大于零，大于零便返回这个数，否则返回零。
然后求出左边最大值，右边最大值和横跨两边的最大值，返回这三个值中的最大值
c语言代码如下:

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <time.h>#define MAX_N 20int max3(int, int, int);int maxSubArrayAns(int []);int maxSubArray(int [], int, int);int main(){    int nums[MAX_N];    int i;    srand(time(0));    printf("array: \n");    for(int i = 0; i < MAX_N; i++){        nums[i] = (int)(rand() % (MAX_N * 2) - MAX_N);        printf("%d\t", nums[i]);    }    printf("\n");    printf("The max subsequen sum is %d.\n", maxSubArrayAns(nums));    return 0;}int max3(int a, int b, int c){    if(a > b)        return a > c ? a : c;    else        return b > c ? b : c;}int maxSubArray(int nums[], int left, int right){    int maxLeftSum, maxRightSum;    int maxLeftBorderSum, maxRightBorderSum;    int leftBorderSum, rightBorderSum;    if(left == right)        if(nums[left] > 0)            return nums[left];        else            return 0;    int mid = (left + right) / 2, i;    maxLeftSum = maxSubArray(nums, left, mid);    maxRightSum = maxSubArray(nums, mid + 1, right);    maxLeftBorderSum = 0, leftBorderSum = 0;    for(i = mid; i >= left; i--){        leftBorderSum += nums[i];        if(leftBorderSum > maxLeftBorderSum)            maxLeftBorderSum = leftBorderSum;    }    maxRightBorderSum = 0, rightBorderSum = 0;    for(i = mid + 1; i <= right; i++){        rightBorderSum += nums[i];        if(rightBorderSum > maxRightBorderSum)            maxRightBorderSum = rightBorderSum;    }    return max3(maxLeftSum, maxRightSum, maxLeftBorderSum + maxRightBorderSum);}int maxSubArrayAns(int nums[]){    return maxSubArray(nums, 0, MAX_N - 1);}

使用分治法的话，平均时间复杂度为Θ(n lg n)。实际上解决最大子序列问题还有一种更加快速的方法，这种方法的时间复杂度是Θ(n)，是一种线性的算法

int maxSubArrayAns(int nums[]){    int i, thisSum = 0, maxSum = 0;    for(i = 0; i < MAX_N - 1; i++){        thisSum += nums[i];        if(thisSum > maxSum)            maxSum = thisSum;        else if(thisSum < 0)            thisSum = 0;    }    return maxSum;}