排列组合的思考、组合数的推广和拓展

• 对于排列而言，有一个不在自己的位置上 ⇒ 至少有两个不在自己的位置上；
• 对于排列而言，有两个不在自己的位置上 ⇏ 至少有三个不在自己的位置上；

1. 五局三胜制、七局四胜

• 对于五局三胜制比赛，抢 5：前 4 局打成 2:2 平
• 对于七局四胜制比赛，抢 7：前 6 局打成 3:3 平

2. 从全选（Ann，(nn)）理解

• Ann=n! 是全排列（所谓全排列的含义就是全部参与排列，每个出现一次），Ann=n!=n⋅(n−1)⋯2⋅1 的进一步理解是第一次有 n 个选择，则后续的可供选择的情况依次递减，也即这样的排列是全排列，是记顺序的；

• (nn)=1，不计

3. 组合数的推广和拓展

由阶乘和 Gamma 函数的关系（n!=Γ(n+1)），可知：

(nk)=n!k!(n−k)!=Γ(n+1)!(k+1)!(n−k+1)!

因为 Γ(⋅) 是实数轴上的连续函数，可将组合数的定义做进一步推广（n→R）

(rk)=Γ(r+1)!Γ(k+1)!Γ(r−k+1)!

4. 推广后的组合数的应用

(1+z)r=∑k(rk)zk,|z|<1

因为指数部分 r 是实数，也即是关于 z 的连续函数，可对其在 z=0 处做泰勒展开：

f(z)=f(0)0!+f′(0)1!z+f′′(0)2!z2+…