为什么KMP算法的预处理时间是Θ(m)？

《算法导论》P590已经描述过，但并没有细说，或者只是描述一个名词“摊还分析”，所以我按自己的理解重新描述

COMPUTE-PREFIX-FUNCTION(P)

m=P.lengthlet π[1..m] be a new arrayπ[1]=0k=0for q=2 to mwhile k>0 and P[k+1]!=P[q]k=π[k]if P[k+1]==P[q]k=k+1π[q]=kreturn π

（1）初始化时，k=0，q=2，每次for循环后q都会增加1。但是，k只有在if中才会增加，在while中只会减少，所以k<q始终都成立，所以k的增加次数不超过m。你可以想象一下：

q不会减少，而且每次都增加1；

k有可能会减少，每次增加1，也有可能不增加，因为if不一定成立

（2）上面也说了，k的增加次数不会超过m，而且k>0必须成立。

所以，当k==0时，while只会在每次for循环执行一次；

当k>0时，就会不断地减小。

但是，由于（1）中说了，k的增加次数不会超过m，所以，k的减少次数也不会超过m

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所以，相当于在每次for循环中，while循环一般都执行1次。

while总的执行次数 < for循环执行次数+k

for循环次数大概是m，而k<m，所以while的总的执行次数<2m。

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所以，KMP算法的预处理时间是Θ(m)

QES