动态规划 III——C - Travel

本题思路:（1）在理清思路之前，首先要理清题意。而理清题意时，要注意涉及哪几个变化因素，并且要把文字转换成计算机语言来描述。

如本题，变化因素有：城市数量、旅游天数、过市费用、从市赚取得钱。计算机语言描述如下（结合题目给出的已有变量名）：

n表示城市数量,m表示旅游天数。结合例子，从城市i到城市j的费用可以表示成cost[i][j],至于要呆几天，过市的费用是不受影响的；第i天在城市j赚到的钱可以表示成inc[i][j],至于

昨天从哪个城市来的，并不影响今天在这个城市赚的钱。

（2）理清题意之后，开始看问题。看问题时，同样要把问题的描述转换成计算机语言。

问题文字描述；求3天游历3个城市得到的最大收益。可以用dp[i][j]表示第i天游历城市j得到的最大收益，即是旅游到第i天时人在城市j所得到的最大收益（包括之前得到的收益，

不断累加的一个结果）。

（3）最后分析问题。3天游历3个城市得到的最大收益。（起始站在城市1）下面将问题小化

1、假设一天游历一个城市。

——>这一天我可能在城市1、城市2、城市3。问题解决：求出dp[1][1]、dp[1][2]、dp[1][3]三者的值，再取最大值就好。

——>dp[1][i]=0-cost[1][i]+inc[1][i];           （注意今天的最大收益是有昨天最大收益的累加，第i天的收益也要有前面i-1天的收益累加）

2、假设两天游历两个城市。

——>第一天我可能在城市1、城市2、城市3。同假设1，只是不取假设1中的最大值。

——>第二天我可能在城市1、城市2、城市3。问题解决：求出dp[2][1]、dp[2][2]、dp[2][3]三者的值，再取最大值就好。

——>若第二天在城市1，则dp[2][1]=dp[1][i]-cost[i][1]+inc[2][1];  //i指的是：前一天从城市i到城市1（i=1，2，3）

——>若第二天在城市2，则dp[2][2]=dp[1][i]-cost[i][2]+inc[2][2];  //i指的是：前一天从城市i到城市2（i=1，2，3）

——>若第二天在城市3，则dp[2][3]=dp[1][i]-cost[i][3]+inc[2][3];  //i指的是：前一天从城市k到城市3（i=1，2，3）

——>dp[2][j]=dp[1][i]-cost[i][j]+inc[2][j]

3、假设三天游历三个城市。

——>第一天我可能在城市1、城市2、城市3。同假设1，只是不取假设1中的最大值。

——>第二天我可能在城市1、城市2、城市3。同假设2，只是不取假设2中的最大值。

——>第三天我可能在城市1、城市2、城市3。问题解决：求出dp[3][1]、dp[3][2]、dp[3][3]三者的值，再取最大值就好。

——>若第三天在城市1，则dp[3][1]=dp[2][i]-cost[i][1]+inc[3][1];  //i指的是：前一天从城市i到城市1（i=1，2，3）

——>若第三天在城市2，则dp[3][2]=dp[2][i]-cost[i][2]+inc[3][2];  //i指的是：前一天从城市i到城市2（i=1，2，3）

——>若第三天在城市3，则dp[3][3]=dp[2][i]-cost[i][3]+inc[3][3];  //i指的是：前一天从城市i到城市3（i=1，2，3）

——>dp[3][j]=dp[2][i]-cost[i][j]+inc[3][j]

(4)观察:dp[1][i]、dp[2][j]、dp[3][j],可以发现后一个式子的求解只与前一个式子有关。符合（动态规划特征：当前状态与上一状态相关）

写出通用公式——>dp[i][j]=dp[i-1][k]-cost[k][j]+inc[i][j]

1、对通用公式进行分析：1）有三个变量名：i（指天数）、j（指城市）、k(指城市)。

2)变量名变化次数的多少，由多到少排序：k,j,i；

3）与公式中变量名相关的因素：k(n),j(n),i(m);由这三点分析能够写出一个大循环（三重)

2、对动态边界进行确定：往往将大循环第一重的第一个赋值（i=1，注意，这时k=1）代入通用公式:dp[1][j]=dp[0][1]-cost[1][j]+inc[1][j]

——>dp[0][1]、cost[1][j]、inc[1][j]就是边界。

——>边界的式子需要在大循环的前面先求解出具体的值。

<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">下面是伪代码演示:</span>

dp[0][1]=0;for(...;i<=n;...)              //包含了cost[1][j]for(...;j<=n;...)scanf(数据输入);for(...;i<=m;..)              //包含了inc[1][j]for(...;j<=n;...)scanf(数据输入);for(..;i<=m;..)               //（三重）大循环，相当于求出了一个二维数组dp[m][n]for( ...;j<=n;...)for( ...;k<=n;...)dp[i][j]=max(dp[i][j],通用公式)     //dp数组要在前面初始化，赋予极小的值（属于技巧性，因为动态肯定要比较，这里是累加性的，只能和自身比较）。方便这里对dp[i][j]和通用公式的初次比较和获取最大值。ans=0;                     //通过比较dp[3][i]找出最大值，解决问题。这里ans=0和“前面dp数组要在前面初始化，赋予极小的值”的作用一样。for(int i=1;i<=n;i++)ans=max(ans,dp[3][i])

</pre><pre name="code" class="cpp">下面是C++代码演示：

#include<stdio.h>#include<math.h>#include<algorithm>using namespace std;int cost[105][105];int inc[105][105];int dp[105][105];int main(){int n,m;while(scanf("%d%d",&n,&m)){if(!n&&!m)break;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)scanf("%d",&cost[i][j]);for(int i=1;i<=m;i++)for(int j=1;j<=n;j++)scanf("%d",&inc[i][j]);memset(dp,-9999999,sizeof(dp));dp[0][1]=0;for(int i=1;i<=m;i++)for(int j=1;j<=n;j++)for(int k=1;k<=n;k++)dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][k]-cost[k][j]+inc[i][j]);int ans=0;for(int i=1;i<=n;i++)ans=max(ans,dp[m][i]);printf("%d\n",ans);}}