HDU5755 Gambler Bo

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题目大意：有一n*m(1<n,m<=30)的矩阵，每个位置取值为{0,1,2}，所有的运算都在mod3域下进行。有一种操作，使得某个位置+2，并且上下左右相邻位置+1。输出操作序列(操作数量<=2*m*n)使得所有的位置都为0。

分析：由题意可知，所有的操作也是模3 域下的，也就是说如果有解的话，除去无效操作，操作总数一定<=2*m*n。

只需要解一个模3的线性方程组即可，未知量数为n*m个，表示从全为0的状态变为当前状态该位置进行了几次操作。

注意，可能存在无穷组解，只需要任意确定自由元即可得到一个解。

对得到的解求其模3的补即是答案。

#include <iostream>#include <cstdio>#include <algorithm>#include <vector>#include <cstring>#include <cstdlib>#include <string>#include <cmath>#include <set>#include <map>#include <bitset>using namespace std;typedef long long ll;const int mod = 1000000003;const double eps = 1e-6;const int inf = 0x3f3f3f3f;const ll INF = 100000000000000000ll;int mat[40][40],n,m;const int MAXN=1805;int a[MAXN][MAXN];//增广矩阵int x[MAXN];//解集bool free_x[MAXN];//标记是否是不确定的变元inline int gcd(int a,int b){    int t;    while(b!=0)    {        t=b;        b=a%b;        a=t;    }    return a;}inline int lcm(int a,int b){    return a/gcd(a,b)*b;//先除后乘防溢出}// 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮点数解，但无整数解，//-1表示无解，0表示唯一解，大于0表示无穷解，并返回自由变元的个数)//有equ个方程，var个变元。增广矩阵行数为equ,分别为0到equ-1,列数为var+1,分别为0到var.int Gauss(int equ,int var){    int i,j,k;    int max_r;// 当前这列绝对值最大的行.    int col;//当前处理的列    int ta,tb;    int LCM;    int temp;    int free_x_num;    int free_index;    for(int i=0;i<=var;i++)    {        x[i]=0;        free_x[i]=true;    }    //转换为阶梯阵.    col=0; // 当前处理的列    for(k = 0;k < equ && col < var;k++,col++)    {// 枚举当前处理的行.// 找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换.(为了在除法时减小误差)        max_r=k;        for(i=k+1;i<equ;i++)        {            if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col])) max_r=i;        }        if(max_r!=k)        {// 与第k行交换.            for(j=k;j<var+1;j++) swap(a[k][j],a[max_r][j]);        }        if(a[k][col]==0)        {// 说明该col列第k行以下全是0了，则处理当前行的下一列.            k--;            continue;        }        for(i=k+1;i<equ;i++)        {// 枚举要删去的行.            if(a[i][col]!=0)            {                LCM = lcm(abs(a[i][col]),abs(a[k][col]));                ta = LCM/abs(a[i][col]);                tb = LCM/abs(a[k][col]);                if(a[i][col]*a[k][col]<0)tb=-tb;//异号的情况是相加                for(j=col;j<var+1;j++)                {                    a[i][j] = ((a[i][j]*ta-a[k][j]*tb)%3+3)%3;                }            }        }    }    // 1. 无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a != 0).    for (i = k; i < equ; i++)    { // 对于无穷解来说，如果要判断哪些是自由变元，那么初等行变换中的交换就会影响，则要记录交换.        if ( a[i][col]  != 0) return -1;    }    // 2. 无穷解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中出现(0, 0, ..., 0)这样的行，即说明没有形成严格的上三角阵.    // 且出现的行数即为自由变元的个数.    if (k < var)    {        // 首先，自由变元有var - k个，即不确定的变元至少有var - k个.        for (i = k - 1; i >= 0; i--)        {            // 第i行一定不会是(0, 0, ..., 0)的情况，因为这样的行是在第k行到第equ行.            // 同样，第i行一定不会是(0, 0, ..., a), a != 0的情况，这样的无解的.            free_x_num = 0; // 用于判断该行中的不确定的变元的个数，如果超过1个，则无法求解，它们仍然为不确定的变元.            for (j = 0; j < var; j++)            {                if (a[i][j] != 0 && free_x[j]) free_x_num++, free_index = j;            }            if (free_x_num > 1) continue; // 无法求解出确定的变元.            // 说明就只有一个不确定的变元free_index，那么可以求解出该变元，且该变元是确定的.            temp = a[i][var];            for (j = 0; j < var; j++)            {                if (a[i][j] != 0 && j != free_index) temp -= a[i][j] * x[j]%3;                temp=(temp%3+3)%3;            }            x[free_index] = (temp / a[i][free_index])%3; // 求出该变元.            free_x[free_index] = 0; // 该变元是确定的.        }        return var - k; // 自由变元有var - k个.    }    // 3. 唯一解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中形成严格的上三角阵.    // 计算出Xn-1, Xn-2 ... X0.    for (i = var - 1; i >= 0; i--)    {        temp = a[i][var];        for (j = i + 1; j < var; j++)        {            if (a[i][j] != 0) temp -= a[i][j] * x[j];            temp=(temp%3+3)%3;        }        while (temp % a[i][i] != 0) temp+=3;        x[i] =( temp / a[i][i])%3 ;    }    return 0;}int judge(int c,int d){    int i,j,i1,j1;    i = c/m;    j = c%m;    i1 = d/m;    j1 = d%m;    if(abs(i1-i)+abs(j1-j)==1){        return 1;    }    return 0;}vector<int> ans;int main(){    int T;    cin>>T;    while(T--){        ans.clear();        scanf("%d%d",&n,&m);        int nn = n*m;        for(int i = 0;i < n;i++){            for(int j = 0;j < m;j++){                scanf("%d",&mat[i][j]);            }        }        for(int i = 0;i < nn;i++){            for(int j = 0;j < nn;j++){                if(i == j){                    a[i][j] = 2;                }                else{                    if(judge(i,j)){                        a[i][j] = 1;                    }                    else a[i][j] = 0;                }            }        }        for(int i = 0;i < n;i++){            for(int j = 0;j < m;j++){                a[i*m+j][nn] = mat[i][j];            }        }        int res = 0;        int free = Gauss(nn,nn);        if(free>0){            for(int i = 0;i < free;i++){                for(int j = 0;j < nn;j++){                    if(j == nn-free+i) a[nn-free+i][j] = 1;                                    }            }            int aa = Gauss(nn,nn);        }        for(int i = 0;i < nn;i++){            int k = (3-x[i])%3;            for(int j = 0;j < k;j++){                res++;                ans.push_back(i);            }        }        printf("%d\n",res);        for(int i = 0;i < ans.size();i++){            int k = ans[i];            printf("%d %d\n",k/m+1,k%m+1);        }    }    return 0;}