2016多校联合3

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给定一颗树，求f(u)=∑ni=1∑nj=i(wi+wj)∗[LCA(i,j)=u]
支持两种操作：
1）u的点权增加x
2）询问f[u]
化简公式：f[u]=w[u]+sum[u]∗sz[u]−∑fa[v]=usz[v]∗sum[v]
对于每次操作，会影响u，u的儿子，u的孙子和u的祖先四部分节点。
1）对于u，u的儿子，u的孙子，都可以用懒惰标记法解决。推公式计算即可。
2）对于u的祖先v。u增加x，v的函数值增量为：x∗(sz[v]−sz[w])
w是u到v的路径上v的儿子节点。
由于每个点v的更新值既与x，v相关，还与v的儿子节点相关，因此不能直接在点到根的路径上使用树链剖分去做。

考虑树链剖分的性质：每个节点至多有一个重儿子，其余都是轻儿子。于是有以下算法：
2.1） 更新过程：只对于top[v]==v的顶点（轻儿子），f[fa[v]]的值。
2.2）求值过程：每个点的轻儿子对自身的贡献已经更新过了，所以只需要再枚举重儿子的贡献即可。
注：第二步中求重儿子的贡献，需要换一种思路来求值：单点更新，求子树和。具体做法如下：
2.2.1） 更新过程：u点权值加x
2.2.2）求值过程：如果u有重儿子hson，求hson子树权值和，记作value。and += value*(size[u] - size[hson])
上述过程可用dfs序实现

代码如下

#include<stdio.h>#include<string.h>#include<iostream>#include<algorithm>#include<vector>#define uint unsigned intusing namespace std;const int maxn = 3e5 + 10;int n, q, fa[maxn], heavy[maxn], tpu[maxn], L[maxn], R[maxn], cnt;uint s[maxn], f[maxn], w[maxn], sum[maxn], sz[maxn], son[maxn], sson[maxn], spe[maxn], add[maxn], spe2[maxn];vector<int> g[maxn];void dfs(int u){    sum[u] = w[u];    sz[u] = 1;    s[u] = f[u] = son[u] = sson[u] = spe[u] = spe2[u] = add[u] = 0;    heavy[u] = tpu[u] = 0;    L[u] = ++cnt;    int tn = 0;    for(int i = 0; i < g[u].size(); i ++){        int v = g[u][i];        dfs(v);        son[u] ++;        sson[u] += (son[v] + 1);        spe[u] += sz[v] * (son[v] + 1);        spe2[u] += sz[v];        sz[u] += sz[v];        sum[u] += sum[v];        f[u] -= sz[v] * sum[v];        if(tn < sz[v]) tn = sz[v], heavy[u] = v;    }    f[u] += w[u] + sum[u] * sz[u];    R[u] = cnt;}void dfs2(int u){    if(!tpu[u]) tpu[u] = u;    if(heavy[u]) tpu[heavy[u]] = tpu[u];    for(int i = 0; i < g[u].size(); i ++) dfs2(g[u][i]);}void Add(int id, int x){    for(int i = id; i <= n; i += (i&(-i))) s[i] += x;}uint Sum(int id){    uint ans = 0;    for(int i = id; i; i -= (i&(-i))) ans += s[i];    return ans;}uint cal1(int u, uint x){    return x * (sz[u] * (sson[u] + 1) - spe[u] + 1);}uint cal2(int u, uint x){    return x * (sz[u] * (son[u] + 1) - spe2[u] + 1);}uint cal3(int u, uint x){    return x * (sz[u] + 1);}int main(){    //freopen("input.txt", "r", stdin);    while(scanf("%d%d", &n, &q) != EOF){        for(int i = 1; i <= n; i ++) g[i].clear();        for(int i = 2; i <= n; i ++){            int x; scanf("%d", &x);            g[x].push_back(i);            fa[i] = x;        }        for(int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d", &w[i]);        cnt = 0;        dfs(1);        dfs2(1);        while(q --){            int type, u;            uint x; scanf("%d", &type);            if(type == 1){                scanf("%d%u", &u, &x);                add[u] += x;                x *= (sson[u] + 1);                Add(L[u], x);                for(; fa[tpu[u]]; u = fa[u]){                    u = tpu[u];                    f[fa[u]] += x * (sz[fa[u]] - sz[u]);                }            }            else{                scanf("%d", &u);                uint ans = f[u] + cal1(u, add[u]) + cal2(u, add[fa[u]]) + cal3(u, add[fa[fa[u]]]);                if(heavy[u]) ans += (Sum(R[heavy[u]]) - Sum(L[heavy[u]]-1)) * (sz[u] - sz[heavy[u]]);                printf("%u\n", ans);            }        }    }    return 0;}