最小生成树算法和单源最短路径算法

Prim和Dijkstra算法的区别
一、原文：
http://www.cnblogs.com/huiliu/archive/2011/04/15/2017228.html

在图论中，Prim算法是计算最小生成树的算法，而Dijkstra算法是计算最短路径的算法。二者看起来比较类似，因为假设全部顶点的集合是V，已经被挑选出来的点的集合是U，那么二者都是从集合V-U中不断的挑选权值最低的点加入U，那么二者是否等价呢？也就是说是否Dijkstra也可以计算出最小生成树而Prim也可以计算出从第一个顶点v0到其他点的最短路径呢？答案是否定的，否则就不必有两个算法了。

二者的不同之处在于“权值最低”的定义不同，Prim的“权值最低”是相对于U中的任意一点而言的，也就是把U中的点看成一个整体，每次寻找V-U中跟U的距离最小（也就是跟U中任意一点的距离最小）的一点加入U；而Dijkstra的“权值最低”是相对于v0而言的，也就是每次寻找V-U中跟v0的距离最小的一点加入U。

一个可以说明二者不等价的例子是有四个顶点(v0, v1, v2, v3)和四条边且边值定义为(v0, v1)=20, (v0, v2)=10, (v1, v3)=2, (v3, v2)=15的图，用Prim算法得到的最小生成树中v0跟v1是不直接相连的，也就是在最小生成树中v0v1的距离是v0->v2->v3->v1的距离是27，而用Dijkstra算法得到的v0v1的距离是20，也就是二者直接连线的长度。

二、原文：http://www.cnblogs.com/aiyelinglong/archive/2012/03/26/2418707.html

最小生成树（prime算法、kruskal算法） 和 最短路径算法（floyd、dijkstra）
　　带权图分为有向和无向，无向图的最短路径又叫做最小生成树，有prime算法和kruskal算法；有向图的最短路径算法有dijkstra算法和floyd算法。

　　生成树的概念：联通图G的一个子图如果是一棵包含G的所有顶点的树，则该子图称为G的生成树 生成树是联通图的极小连通子图。所谓极小是指：若在树中任意增加一条边，则 将出现一个回路；若去掉一条边，将会使之编程非连通图。生成树各边的权 值总和称为生成素的权。权最小的生成树称为最小生成树，常用的算法有prime算法和kruskal算法。

　　最短路径问题旨在寻找图中两节点之间的最短路径，常用的算法有：floyd算法和dijkstra算法。

　　构造最小生成树一般使用贪心策略，有prime算法和kruskal算法

　　prime算法的基本思想

1.清空生成树，任取一个顶点加入生成树

2.在那些一个端点在生成树里，另一个端点不在生成树里的边中，选取一条权最小的边，将它和另一个端点加进生成树

3.重复步骤2，直到所有的顶点都进入了生成树为止，此时的生成树就是最小生成树
　　kruskal算法：构造一个只含n个顶点，而边集为空的子图，若将该子图中各个顶点看成是各棵树的根节点，则它是一个含有n棵树的森林 。之后，从网的边集中选取一条权值最小的边，若该边的两个顶点分属不同的树 ，则将其加入子图，也就是这两个顶点分别所在的 两棵树合成一棵树；反之，若该边的两个顶点已落在同一棵树上，则不可取，而应该取下一条权值最小的边再试之。依次类推，直至森林只有一棵树。kruskal算法能够在并查集的基础很快的实现。结合例子来介绍具体算法实现（其中并查集的部分可以详见并查集介绍部分） http://poj.org/problem?id=1251
　　最短路径问题旨在寻找图中两节点之间的最短路径，常用的算法有：floyd算法和dijkstra算法。

　　floyd算法是最简单的最短路径算法，可以计算图中任意两点间的最短路径 folyd算法的时间复杂度是O(N3),如果是一个没有边权的图，把相连的两点 间的距离设为dist[i][j] = 1，不相连的两点设为无穷大，用 floyd算法可以判断i,j两点是否有路径相连。

　　dijkstra算法用来计算从一个点到其他所有点的最短路径的算法，复杂度O(N2)。