算法的时间复杂度

一、 时间复杂度定义

在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。
算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作：T(n) = O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐进时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。

这样用大写O（）来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大O记法。

一般情况下，随着n的增加，T(n)增长最慢的算法称为优先算法。

二、推导大O阶方法
那么如何分析一个算法的复杂度呢？如何推导大O阶呢？
下面是推导方法：

推导大O阶：
1.用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2.如果修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3.如果最高阶存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数

三、常数阶

首先顺序结构的时间复杂度。下面这个算法，也就是高斯算法，时间复杂度是多少呢？

int sum = 0, n = 100;//执行一次sum = (1 + n ) * n / 2;//执行一次printf("%d",sum);//执行一次

这个算法的运行次数函数是f(n) = 3。根据我们推导大O阶的方法，第一步就是把常数项设为3改为1。在保留最高阶项时发现，它们根本没有最高阶项，所以这个算法的时间复杂度为O(1)。

事实上无论n有多少，上面两段代码就是执行3次。这种执行时间恒定的算法，我们称之为具有O(1)的时间复杂度，又叫常数阶。

注意：不管这个常数是多少，我们都记作O(1)，而不能是O(3)、O(10)等其他任何数字。

对于分支结构而言，无论是真，还是假，执行的次数都是恒定的，不会随着n的变大而发生变化，所以单纯的分支结构（不包含在循环结构中），其时间复杂度也是O(1)。

四、线性阶

线性阶的循环结构会复杂很多。要确定某个算法的阶次，我们常常需要确定某个特定语句或某个语句集运行的次数。因此，我们要分析算法的复杂度，关键就是要分析循环结构的运行情况。

下面这段代码，它的循环的时间复杂度为O(n)，因为循环体中的代码需要执行n次。

int i;for(i = 0;i < n;i++){    /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/}

五、对数阶

下面这段代码，时间复杂度又是多少呢？

int count = 1;while(count < n){    count = count * 2;    //时间复杂度为O(1)的程序步骤序列}

由于每次count * 2之后，就距离n更近了一分。也就是说，有多少个2相乘后大于n，就会退出循环。由2 ^ x = n 得到x = log2(n)。所以这个循环的时间复杂度为O(logn)。

六、平方阶

下面例子是一个循环嵌套，它的内循环刚才我们已经分析过，时间复杂度为O(n)。

int i,j;for(i = 0;i < n;i++){    for(j = 0;j < n;j++)    {        //时间复杂度为O(1)的程序步骤序列    }}

对于外层的循环，只不过是这个时间复杂度为O(n)的语句，再循环n次。以这段代码的时间复杂度为O(n^2)。

如果外循环的循环次数改为m，时间复杂度就变为O(m x n)。

int i,j;for(i = 0;i < m;i++){    for(j = 0;j < n;j++)    {        //时间复杂度为O(1)的程序步骤序列    }}

所以可以得出结论，循环的时间复杂度等于循环体的复杂度乘以该循环运行的次数。

那么下面这个循环嵌套，它的时间复杂度是多少呢？

int i,j;for(i = 0;i < n;i++){    for(j = i;j < n;j++)    {        //时间复杂度为O(1)的程序步骤序列    }}

由于当i = 0时，内循环执行了n次，当i = 1时，执行了n - 1次，……到i = n - 1时，执行1次。所以总的次数为：
n + (n - 1) + (n - 2) + … + 1 = n ^ 2 / 2 + n /2

用上面推导方法，第一条，没有加法的常数不予考虑；第二条，只保留最高阶项，因此保留n ^ 2 / 2；第三条，去除这个项相乘的常数，也就是去除1 / 2，最终复杂度为O(n^2)。

还有个例子

int i,j;for(i = 0;i < n;i++){    function(i);}

void function(int count){    int j;    for(j = count;j < n;j++)    {        //时间复杂度为O(1)的程序步骤序列    }}

事实上这和刚才的例子是一样的，只不过把嵌套内循环放到了函数中，最终的时间复杂度为O(n^2)。

七、常见的时间复杂度

执行次数函数 阶 非正式术语 12 O(1) 常数阶 2n+3 O(n) 线性阶 3n² + 2n + 1 O(n²) 平方阶 5log2(n) O(logn) 对数阶 2n + 3nlog2n O(nlogn) nlogn阶 6n³ + 2n² + 3n + 4 O(n³) 立方阶 2^n O(2^n) 指数阶

常用的书剑复杂度所耗费的时间大小从小到大依次是:
O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n²) < O(n³) < O(2^n)< O(n!) < O(n^n)

八、最坏情况与平均情况

假设我们查找一个有n个随机数字组终的某个数字，最好的情况是第一个数字就是，那么算法的时间复杂度为O(1),但也有可能这个数字就在最后一个位置上待着，那么算法的时间复杂度为O(n)，这是最坏的一种情况了。

最坏运行时间是一种保证，那就是运行时间将不会再坏了。在应用中，这是一种最重要的需求，通常，除非特别指定，我们提到的运行时间都是最坏情况的运行时间。

而平均时间从概率的角度看，这个数字在每一个位置上的可能性是相同的，所以平均查找时间为n / 2次后发现这个目标元素。

平均运行时间是所有情况中最有意义的，因为它是期望的运行时间。

对算法的分析，一种方法是计算所有情况的平均值，这种时间复杂度的计算方法称为平均时间复杂度。另一种方法时计算最坏情况下的时间复杂度，这种方法称为最坏时间复杂度。一般在没有特殊说明的情况下，都是指最坏时间复杂度。