数据结构学习笔记（七）竞赛树

一、竞赛树

         假设有n个选手参加一场网球比赛，比赛规则是“突然死亡法”，即只要输一场就会被淘汰。一对一进行比拼，最后只剩下一个选手保持不败。下图13-1中显示了比赛过程，有a~h一共8名选手。这个比赛使用二叉树进行表示，每一个外部节点表示一名选手，每一个内部节点表示一场比赛，该节点的孩子表示比赛的选手。在同一层的内部节点代表一轮比赛，可以同时进行。在第一轮比赛中，对阵的选手有ab之间、cd之间、ef之间以及gh之间。每一场比赛的胜利者被记录在代表该比赛的内部节点中。在下图a中，第一轮比赛的胜利者为b、d、e和h，其余四位选手直接淘汰；下一轮比赛的对阵是bd之间、eh之间，胜利者是b和e，并且进入决赛；最后胜利者是e，放在根节点上。整个比赛过程见图a所示。图b中给出5名选手参加的比赛，从a到e，最后的胜利者是c。

         

       上图的两颗树都是完全二叉树。现实中竞赛所对应的树不一定是完全二叉树，但是这样做会使得比赛的场次最少。而且上面的竞赛树每一个内部节点记录的是比赛的赢者，我们称之为赢者树。如果内部节点记录的是比赛的输者，我们称之为输者树。应用中赢者树更加直观，但是输者树的实现效率更高。

       我们定义赢者树：有n个选手的一颗赢者树是一颗完全二叉树，它有n个外部节点和n-1个内部节点，每一个内部节点记录的是在该节点进行比赛的胜利者。我们定义最小赢者树，每一场比赛分数少的选手获胜；最大赢者树中，每一场比赛分数多的选手获胜。在分数相等时，左孩纸表示的选手获胜。下图13-2中a是一颗有8名选手的最小赢者树，b是一颗有5名选手的最大赢者树。每一个外部节点下面的数字表示选手的分数。

        

二、赢者树

       我们使用完全二叉树的数组表示赢者树。一颗赢者树有n名选手，需要n-1个内部节点 tree[1:n-1]。选手或者外部节点用数组 player[1:n] 表示，因此 tree[i] 是数组player的一个索引，类型为int。在赢者树的节点 i 对应比赛中的赢者 tree[i] 。图13-4给出在5个选手的赢者树中，各节点与数组 tree 和 player 之间的对应关系。

       

      为实现这种对应关系，我们必须能够确定外部节点 player[i]  的父节点 tree[p]。当外部节点的个数为n时，内部节点的个数为n-1。最低层最左端的内部节点，其编号为s，并且有s=2^log（n-1）。因此，最底层内部节点的个数为n-s，而最底层外部节点的个数lowExt是这个数的2倍。例如，在图13-4中，n=5，s=4，最底层最左端的内部节点是 tree[4]，这一层的内部节点个数为n-4=1个。最底层外部节点个数lowExt=2，倒数第二层最左端的外部节点编号是lowExt+1.。令offset=2*s-1。对于任何一个外部节点 player[i] ，其父节点tree[p]有一下公式给出：

      

      赢者树关键的两个操作是初始化和重新组织比赛。为了初始化一个赢者树，我们从右孩纸选手开始，进行他所参加的比赛，而且逐层网上，只要是从右孩纸上升到比赛节点，就可以进行在该节点的比赛。为此，要从左往右的考察右孩纸选手。在图13-4的树种，我们首先进行选手 player[2] 的比赛，然后进行 player[3] 的比赛，最后进行 player[5]的比赛。首先，我们进行选手 player[2] 参加在节点 tree[4]  的比赛，但是接下来，我们不能在上一层节点 tree[2]  的比赛，因为 tree[4] 是左孩纸。然后我们进行选手 player[3] 参加在tree[2] 的比赛，但是接下来不能进行在节点tree[1]的比赛，因为tree[2]是左孩纸。最后我们进行选手 play[5] 参加的在节点tree[3]的比赛和在节点 tree[1] 的比赛。注意，节点 tree[i] 节点记录的是比赛的赢者。

      当选手 thePlayer 的值改变，在从外部节点 player[ thePlayer ] 到根节点 tree[1] 的路径上，一部分或者全部比赛都需要进行重赛。为简单起见，我们要路径上的全部比赛重赛。具体的实现方案如下：

三、赢者树的实现

#pragma once #include<iostream>using namespace std;template <class T>class winnerTree{public://构造函数和析构函数winnerTree(T* thePlayer, int theNumberOfPlayer){tree = NULL;initializer(thePlayer, theNumberOfPlayer);}~winnerTree(){ delete[] tree; }//使用数组thePlayer初始化一个赢者树void initializer(T *, int );//返回比赛最后赢者的下标int winner() const { return tree[1]; }//返回比赛中某一环节的比赛的赢者int winner(int i) const { return (i < numberofPlayer) ? tree[i] : 0; }//因改变某一个player的值进而重赛void rePlay(int);//输出void output() const;private:T* player;//参赛成员组成的数组int numberofPlayer;//参赛成员的数量int* tree;//赢者树，数组表示，赢者树只包含比赛结果，节点表示赢者的下标int lowExt;//用于生成赢者树，表示最底层外部节点的个数int offset;//用于生成赢者树，=2^log(n-1) - 1，详见解析void play(int, int, int);//初始化需要用到，};//使用数组thePlayer初始化为一个赢者树template<class T>void winnerTree<T>::initializer(T *thePlayer, int theNumberOfPlayers){int n = theNumberOfPlayers;if (n < 2){cerr << "Must have at least 2 players"; exit(0);}player = thePlayer;numberofPlayer = n;delete[] tree;tree = new int[n];//n个外部节点，需要n-1内部节点，而数组0空置不用，所以需要n的空间int s;for (s = 1; 2 * s <= n - 1; s += s);//最底层最左端的内部节点编号s = 2^log (n-1),取log的下整lowExt = 2 * (n - s);//最底层外部节点个数=2*最底层内部节点个数，最底层内部节点个数n-soffset = 2 * s - 1;//令offset=2*s-1//对于任何一个外部节点player[i]，其父节点tree[p]满足：//当i<=lowExt时，p=(i+offset)/2;  当i>lowExt时，p=(i-lowExt+n-1)/2;int i;//对最底层的外部节点比赛，从2，4，6。。开始知道判断for (i = 2; i <= lowExt; i += 2)play((offset + i) / 2, i - 1, i);//处理剩余的外部节点if (n % 2 == 1){//如果外部节点n为奇数，需要特殊处理play(n / 2, tree[n - 1], lowExt + 1);i = lowExt + 3;}else//如果外部节点n为偶数i = lowExt + 2;for (; i <= n; i += 2)play((i - lowExt + n - 1) / 2, i - 1, i);}//play操作，从最开始的底层进行比赛，直到完成所有比赛决胜出最后赢者template<class T>void winnerTree<T>::play(int p, int leftchild, int rightchild){//从tree[p]开始的比赛，一直往上冒泡，直至根节点tree[p] = (player[leftchild] <= player[rightchild]) ? leftchild : rightchild;while (p % 2 == 1 && p > 1){//p作为右孩纸出现，才继续往上走，因为最开始play中也是由右孩纸判断的tree[p / 2] = (player[tree[p - 1]] <= player[tree[p]]) ? tree[p - 1] : tree[p];p /= 2;}}//当thePlayer的值改变时，需要重赛,我们可以打乱然后重新初始化，但一般不这么做template<class T>void winnerTree<T>::rePlay(int thePlayer){int n = this->numberofPlayer;if (thePlayer <= 0 || thePlayer > n){cerr << "Player index is illegal"; exit(0);}int matchNode,leftchid,rightchild;//下一个需要重赛的节点以及他的孩纸//找出第一个需要重赛的节点以及他的左右孩纸if (thePlayer <= lowExt){matchNode = (offset + thePlayer) / 2;leftchid = 2 * matchNode - offset;rightchild = leftchid + 1;}else{matchNode = (thePlayer - lowExt + n - 1) / 2;if (2 * matchNode == n - 1){leftchid = tree[2 * matchNode];rightchild = thePlayer;}else{leftchid = 2 * matchNode - n + 1 + lowExt;rightchild = leftchid + 1;}}tree[matchNode] = (player[leftchid] <= player[rightchild]) ? leftchid : rightchild;//第二个需要重赛的节点中的特殊情况，即包含内部和外部节点if (matchNode == n - 1 && n % 2 == 1){matchNode /= 2;tree[matchNode] = (player[tree[n - 1]] <= player[lowExt + 1]) ? tree[n - 1] : lowExt + 1;}//剩余的需要重赛的节点处理matchNode /= 2;for (; matchNode >= 1; matchNode /= 2)tree[matchNode] = (player[tree[2 * matchNode]] <= player[tree[2 * matchNode + 1]]) ?tree[2 * matchNode] : tree[2 * matchNode + 1];}//输出template<class T>void winnerTree<T>::output() const{cout << "number of players  = " << numberofPlayer<< " lowExt = " << lowExt<< " offset = " << offset << endl;cout << "complete winner tree pointers are" << endl;for (int i = 1; i < numberofPlayer; i++)cout << tree[i] << ' ';cout << endl;}

   测试代码：

#include <iostream>#include "WinnerTree.h"using namespace std;struct player{int id, key;operator int() const { return key; }};void main(void){int n;cout << "Enter number of players, >= 2" << endl;cin >> n;if (n < 2){cout << "Bad input" << endl;exit(1);}player *thePlayer = new player[n + 1];cout << "Enter player values" << endl;for (int i = 1; i <= n; i++){cin >> thePlayer[i].key;thePlayer[i].id = i;}winnerTree<player> *w =new winnerTree<player>(thePlayer, n);cout << "The winner tree is" << endl;w->output();thePlayer[2].key = 0;w->rePlay(2);cout << "Changed player 2 to zero, new tree is" << endl;w->output();}

四、输者树

       输者树的内部节点记录的是比赛的失败者，我们可以使用 tree[0] 来记录比赛最后的赢者。当一个赢者发生变化，使用输者树可以简化重新比赛的过程。但是，其他选手发生改变时，还是使用赢者树比较方便，毕竟赢者树在概念上更容易理解。因此，只有选手 player[i] 为前一次比赛的赢家时，对于函数 rePlay（i）采用输者树比赢者树执行效率高。