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20160712梅西法&科利法

梅西法和科利法是BCS评分里的两种方法。BCS是用来确定哪些队伍被邀请参加哪个系列的比赛的。BCS主要是有两个评分来源：人和计算机。人的输入数据是教练和媒体，计算的输入是6个数学模型。具体BCS的细节这里不细谈了，以后有空专门写一篇博客谈，今天就只谈谈梅西法和科利法。

1. 梅西法

首先放出作者的网站masseyratings.com，如果要搜索梅西法的资料，建议直接google-“massey ratings”，英文资料一大把。

1.1 梅西法基本原理

主要的公式如下：

ri−rj=yk

其中yk代表比赛k中获胜方的优势，ri代表队伍i的评分，rj代表队伍j的评分。针对历史已经比赛过的结果，我们可以列出一个上述形式的方程组。n支队伍，m场比赛，那么就有n个未知数，m个方程。写为:

Xr=y

X矩阵：每一行大部分为0，在第i列和j列上分别是1和-1.
y：代表获胜方优势的向量。
r：代表我们所求的每个队伍的评分。
这个方程组解法为XTXr=XTy。针XTX简单分析下，对角元素就是队伍i完成的比赛场数，非对焦元素就是队伍i和队伍j比赛场数的相反数。针对XTy的第i个元素就是队伍i所有比赛获得的分差之和。
这里简单分析下XTX是一个n阶对称方阵，也是一个对角阵，并且每一列线性相关。
为了让r有唯一解，往往需要给XTX和XTy增加一行0，表示每个队伍所有评分总和为0.

1.2 梅西法高级原理

这个高级原理就是引入了一个攻击和防守的特性。这里做了一个假设，队伍的评分等于攻击评分加上防守评分。现在我们引入一些符号来推导一些公式看看。
攻击评分：o
防守评分：d
向量XTy分解为f-a，代表得到的总分数-失去的分数。
矩阵XTX分解为T-P，T是对角阵，P是非对角阵。

XTXr(T−P)(o+d)To−Po+Td−Pd=XTy=f−a=f−a

将上式分解为：

To−PdPo−Td=f=a

继续：

To−PdT(r−d)−Pd(T+P)d=f=f=Tr−f

看看上式，除了d是所求的，其他的都能得到。那么这里的向量d和o就可以搞定了。

1.3 梅西法的使用

当我们能求到一个队伍的攻击分数和防守分数，那么我们可以预测该队伍的的比赛具体分数。比如A队伍攻击分数为5，防守分数为2，B队伍攻击分数为3，防守分数为4，则他们的比分应该是(5-4):(3-2)，结局就是1：1。
网页中该如何使用梅西法排名呢？

如果两个网页之间没有超链接，则没有比赛，如果有超链，则代表有比赛。这里就可以搞定矩阵XTX
同理可以利用所有入链总数减去所有出链总数，代表评分向量XTY。

2 科利法

这个和前面的梅西法不同，关键在于获胜率。以前的获胜率常常使用ri=witi，也就是赢的场数除以比赛总场数。但是这个评分是有几个缺陷的，击败强的对手和弱的对手是一样的，如果从未获胜则胜率为0，很多时候常常发生评分持平的情况。
这个时候，科利对刚刚的公式做了一个小小的修改。

ri=1+wi2+ti

简单来看这个改变很简单，感觉用处应该不会太大。接下来就分析下，这个里面如何克服了上面提出的一些缺陷。

2.1 科利法原理

这里是对一个公式进行变形，讨论开始的。

wi=wi−li2+wi+li2=wi−li2+ti2=wi−li2+∑j=1ti12

这个时候就展开对∑tij=112的讨论。
因为所有队伍都是以1/2开始的，所以最先开始时∑tij=112=∑j∈ojrj。这里的o_j是指队伍i的对手集合。随着比赛开始，∑tij=112=∑j∈ojrj这个等式就不成立了，但是我们可以说明这个等式近似成立，因为比赛的继续，一方胜利，一方失败，可以说评分是在1/2上左右摇摆的。这就是科利法的关键所在，接下来的推导就很简单了。
将wi≈wi−li2+∑j∈oirj，带入ri=1+wi2+ti中得到：

ri=1+(wi−li)/2+∑j∈oirj2+ti

观察这个等式，记住我们要求的是r，这里未知的也是r。而且这里很明显是一个线性的等式，可以写为Cr=b的形式，继续吧。

bi=1+12(wi−li)

Cij={2+ti,i=j−nij,i≠j

其中n_ij为队伍i和j比赛次数。可以证明C_{n*n}可逆，具有唯一解。

2.2 科利法应用

1. 科利法的结果没有考虑比赛具体的分数，只考虑比赛的胜负情况。基于此科利法不会受到比赛具体分数的干扰，比如强队在弱队上大比分的胜出。
2. 第二点，就是基于之前的假设，∑tij=112=∑j∈ojrj，一个队伍胜率增加，代表另一个队伍胜率降低，但是平均值应该是1/2左右。

2.3 科利法和梅西法的联系

给出一个等式C=2I+XTX，那么梅西法可以科利化为(2I+XTX)r=p，这里的p也就是梅西法中的y，是包含了得分的信息。这里加上了2I，可以使得矩阵非奇异。同理梅西法也可以进行科利化，一切尽在之前的那个矩阵。

3.感想

说说自己的想法。这两个算法有相关性，有各自的优缺点，比如是否考虑比赛的分数，是否考虑比赛的胜率，能否计算攻守评分等等。但是这里会发现一切都是计算的线性的等式，什么意思呢，比如这个梅西法有偏，是因为这个方法会出现强队大胜弱队的情况，那么这个大胜获取的分数和他们的实力不是成正比，而求解是求解的线性的方程组，所以就导致了有偏。那如果这里能假设是平方的关系，就是获取的分数和实力是平方比的关系，抑或是更复杂的关系，小范围的实力差距是线性，大范围的实力差距是平方或更高的次方。那是否可以试试呢？