poj 3744 Scout YYF I (概率DP&矩阵快速幂)★

题意：

　　你在一条布满地雷的道路上，开始在坐标1。每次有概率P向前走一步，有概率1-P向前走两步。道中路某几个点上会有地雷，问你安全通过的概率。地雷数N<=10，坐标范围在100000000内。

思路：
假设dp[i]表示安全走到i点的概率，那么dp[i]=P*dp[i-1]+(1-P)*dp[i-2]。很简单的一个转移，但是坐标范围太大了。直接递推爆内存，而且肯定也会超时。

我们换一个思路，假设x[i]表示第i个地雷的坐标。对于任何两个地雷x[i-1]+1~~x[i]之间，只会有一个地雷，那就是x[i]。我们安全通过该段的概率等于1 -踩到x[i]的概率。为什么可以这样呢。

我们前x[i]-1个位置看成一个位置。下一个位置只有两种可能。1.走到x[i]。2.走到x[i]+1。所以安全出来的概率就为1-踩到x[i]的概率。
也就是说，我们将n个地雷分成n段分别处理。每次都可以得到一个安全通过某一段的概率，最后将这些概率乘起来就是答案了。
由于数据比较大。
于是我们用矩阵来优化一下。
我们为这个dp[i]=P*dp[i-1]+(1-P)*dp[i-2]构造一个矩阵
| P ,1-P |

| 1 , 0   |

那么dp[n]就是该矩阵N次方后的第v[0,0]个元素。
因为。

|dp[n]   |           |p      1-p|^n-1     |dp[1]|

                  =                           *

|dp[n-1]|          |1          0|            |dp[0]|

而dp[1]=p。dp[0]=1。所以相当于矩阵的N次方去v[0,0]。

通过快速幂，很快就可以求出答案了。

#include <iostream>#include<stdio.h>#include<algorithm>using namespace std;class tra//矩阵结构{public:    int row,col;//行列    double v[3][3];    tra operator*(tra &tt)//矩阵相乘。前面矩阵的列必须和后面矩阵的行相同    {        int i,j,k;        tra temp;        temp.row=row;        temp.col=tt.col;        for(i=0; i<row; i++)            for(j=0; j<tt.col; j++)            {                temp.v[i][j]=0;                for(k=0; k<col; k++)                    temp.v[i][j]+=v[i][k]*tt.v[k][j];            }        return temp;    }};int pos[15];tra pow_mod(tra x,int i)//矩阵快速幂{    tra base=x,ans;    ans.row=ans.col=2;//ans初始化为    ans.v[0][0]=ans.v[1][1]=1;  //|1  0|    ans.v[0][1]=ans.v[1][0]=0;  //|0  1|相当于实数里的1    while(i)    {        if(i&1)            ans=ans*base;        base=base*base;        i>>=1;    }    return ans;}int main(){    tra x,t;    int i,n;    double p,ans;    pos[0]=0;    while(~scanf("%d%lf",&n,&p))    {        for(i=1;i<=n;i++)            scanf("%d",pos+i);        sort(pos+1,pos+n+1);        if(pos[1]==1)        {            printf("%.7lf\n",0.0);            continue;        }        x.row=x.col=2;        x.v[0][0]=p;        x.v[0][1]=1-p;        x.v[1][0]=1;        x.v[1][1]=0;        ans=1;        for(i=1;i<=n;i++)        {            if(pos[i]-pos[i-1]==0)                continue;            t=pow_mod(x,pos[i]-pos[i-1]-1);            ans*=(1-t.v[0][0]);        }        printf("%.7lf\n",ans);    }    return 0;}