【转载】网络流相关算法总结之Dinic

Dinic是个很神奇的网络流算法。它是一个基于“层次图”的时间效率优先的最大流算法。
层次图是什么东西呢？层次，其实就是从源点走到那个点的最短路径长度。于是乎，我们得到一个定理：从源点开始，在层次图中沿着边不管怎么走，经过的路径一定是终点在剩余图中的最短路。（摘自WC2007王欣上论文）注意，这里是要按照层次走。
那么，MPLA（最短路径增值）的一大堆复杂的证明我就略掉了，有兴趣的请自行参阅WC2007王欣上神牛的论文。
首先我们得知道，Dinic的基本算法步骤是，先算出剩余图，然后用剩余图算层次图，然后在层次图里找增广路。不知道你想到没有，这个层次图找增广路的方法，恰恰就是Ford-Fulkerson类算法的时间耗费最大的地方，就是找一个最短的增广路。所以呢，层次图就相当于是一个已经预处理好的增广路标志图。
如何实现Dinic呢？
首先我们必然要判一下有没有能到达终点的路径（判存在增广路与否），在这个过程中我们顺便就把层次图给算出来了（当然不用算完），然后就沿着层次图一层一层地找增广路；找到一条就进行增广（注意在沿着层次图找增广路的时候使用栈的结构，把路径压进栈）；增广完了继续找，找不到退栈，然后继续找有没有与这个结点相连的下一层结点，直到栈空。如果用递归实现，这个东西就很好办了，不过我下面提供的程序是用了模拟栈，当然这样就不存在结点数过多爆栈的问题了……不过写起来也麻烦了一些，对于“继续找”这个过程我专门开了一个数组存当前搜索的指针。
上面拉拉杂杂说了一大堆，实际上在我的理解中，层次图就是一个流从高往低走的过程（这玩意儿有点像预流推进的标号法……我觉得），在一条从高往低的路径中，自然有些地方会有分叉；这就是Dinic模拟栈中退栈的精华。这就把BFS的多次搜索给省略了不说，时间效率比所谓的理论复杂度(n2 * m) 要高得多。
这里有必要说到一点，网络流的时间复杂度都是很悲观的，一般情况下绝对没有可能到达那个复杂度的。
 
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