中国剩余定理（CRT）学习小结

①设正整数两两互素，则同余方程组

 

                             

 

有整数解。并且在模下的解是唯一的，解为

 

                               

 

其中，而为模的逆元。

代码如下：

__int64 GCD(__int64 a,__int64 b){return b == 0 ? a : GCD(b,a%b);}void exGCD(__int64 a,__int64 b,__int64 &x,__int64 &y){if (b == 0){x = 1;y = 0;return;}exGCD(b,a%b,y,x);y -= a / b * x;}__int64 CRT(int *m,int *a,int n)//m表示除数，a为余数 {__int64 M = 1;for (int i = 1 ; i <= n ; i++)M = M / GCD(M , m[i]) * m[i];//这里求最小公倍数__int64 ans = 0;__int64 x,y;for (int i = 1 ; i <= n ; i++){__int64 Mi = M / m[i];exGCD(m[i],Mi,x,y);//求 Mi 模 m[i] 的逆元（即公式的 M^(-1)） ans = (ans + a[i] * Mi * y) % M;}return ans;}

②当m不互质：（转载至：点击打开链接）

中国剩余定理：

给定方程组:

x%a[0] = m[0]

x%a[1] = m[1]

···

x%a[n-1] = m[n-1]

求变量x 的值

m必须互质

当m不互质时用合并方程的做法：

（合并方程的原因：当我们把n条方程合并成1条时就是extend能求的了，extend能求一条方程的解

问题描述：给出bi，ni的值，且n1, n2, n3,…, ni两两之间不一定互质，求Res的值？ 
解：采用的是合并方程的做法。 
这里将以合并第一第二个方程为例进行说明 
由上图前2个方程得(设k1、k2为某一整数)： 

所以我们简化一下结论：

已知方程组（b1,b2,n1,n2是已知量）：

res%b1 = n1

res%b2 = n2

->

合并两条方程得到：

res % ( (n1*n2)/d ) = b1+n1*( K%(n2/d))

其中K = (k1*(b2-b1)/d) % (n2/d); 

其中d = gcd(n1,n2);

其中k1：

k1*n1 - k2*n2 = b2-b1

k1,d 可以直接由extend_gcd得到 extend_gcd(n1,n2,d,k1,k2);

(b2-b1)%d == 0 说明extend跑出的k1是一个解，否则说明不存在满足解的k1

注意求K时：为了得到最小非负整数K，所以用一个取模的技巧

K = (K%mod+mod)%mod;

例题及题解：点击打开链接

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若 a == b (mod n)

能推出下面2条等式

1： (a+c) == b+c (mod n)

2：ac == bc (mod n) （但 ac==bc(mod n) 不能推出 a==b(mod n)）

代码实现：（确实不好记，下面的代码我更新了好几遍，每次都有小错误）

__int64 GCD(__int64 a , __int64 b){return b == 0 ? a : GCD(b,a%b);}__int64 exGCD(__int64 a,__int64 b,__int64 &x,__int64 &y){if (!b){x = 1;y = 0;return a;}int g = exGCD(b,a%b,y,x);y -= a / b * x;return g;}__int64 CRT(__int64 *m,__int64 *a,int n)//x % m == a{__int64 lcm = 1;for (int i = 1 ; i <= n ; i++)lcm = m[i] / GCD(m[i],lcm) * lcm;for (int i = 2 ; i <= n ; i++){__int64 A = m[1] , B = m[i],d,x,y,c = a[i] - a[1];//d 为 GCD(A,B) d = exGCD(A,B,x,y);if (c % d != 0)//无解 return -1;__int64 mod = m[i] / d;//然后套公式__int64 K = ((x * c / d) % mod + mod) % mod;a[1] = m[1] * K + a[1];m[1] = m[1] * m[i] / d;}if (a[1] == 0)//如果最后合并的结果的余数为0，答案就是他们的最小公倍数 return lcm;return a[1];}